Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
которые также будут инвариантами, причем, возможно, зависимыми
инвариантами. Так, можно образовать различные алгебры Ли, генераторы
которых строятся из 2N операторов q0 и р0.
Обсудим теперь связь операторов д0 я р0 с гейзенберговскими операторами
ас о и pG. Заметим, что, хотя операторы д0 и р0 похожи на операторы
координат и импульсов в представлении Гейзенберга, они отличаются от
них,- и это существенно, особенно для нестационарных квантовых систем.
Операторы координаты и импульса в представлении Гейзенберга строятся из
операторов х и - iU dldx с помощью оператора эволюции по формулам xG = =
U~lxU и pq - -i%U~l (dldx)U.
В силу одинаковости коммутационных соотношений эрмитовых операторов q0 =
UxU~x и j"0 = U (-i% dldx)U~x и операторов координат и импульсов в
представлении Гейзенберга Xg и pG, по теореме Стоуна - фон Неймана
существует каноническое преобразование S, переводящее операторы xG и pQ в
д0 и р0, которое имеет вид
xQ=(U*Fq0U*i pQ ={Wfp0U\ (1.5)
73
В случае стационарных гамильтонианов эта связь приводит к соотношениям Xq
(-t) = q" (t) и pa (-t) = р0 (t). В случае нестационарных гамильтонианов
Ж (t) эти равенства места не имеют.
Можно указать еще одно полезное соотношение. Если мы введем новый
гамильтониан %({t) = - Ж a (t) и построим операторы координаты 3Cg и
импульса ра в гейзенберговском представлении, связанном с этим
гамильтонианом Ж (t), то операторы д0 и ft - интегралы движения исходной
системы с гамильтонианом Ж (t) - совпадают с операторами ха (t) и pa (t).
Задача нахождения интегралов движения q0 (t) и р0 (t) технически
эквивалентна задаче нахождения операторов координаты и импульса в
гейзенберговском представлении и р& илиасп и ро, но надо отдавать себе
отчет в том, что по физическому смыслу и по дальнейшему применению эти
операторы существенно различны, что было продемонстрировано при решении
конкретных задач в предыдущих главах. Указанные замечания относятся и ко
всем другим операторам - интегралам движения, которые можно построить из
инвариантов q0 и р0.
Доказанное формулами (1.1) - (1.5) наличие у квантовой системы с N
степенями свободы 2N интегралов движения q0 и р0 отражает факт наличия
аналогичных интегралов у соответствующей классической системы.
Существование квантовых интегралов q0 и р0 совершенно понятно, если
исходить из принципа соответствия, который, не являясь доказательством,
служит наводящим соображением для построения квантовых интегралов
движения q0 и р0 на основе рассмотрения классических интегралов движения.
Итак, подойдем к этому вопросу, следуя [67, 77, 78, 80], с точки зрения
связи классической и квантовой механик. Известно, что классическая
динамическая система описывается уравнениями движения второго порядка.
Если проводить описание на языке уравнений Гамильтона <^=дЖ1др ж р = -
дЖ/dq, q = (qlt . . .
. . ., qN), р = (р 1, • • м Pn), то имеется система 2N (N - число
степеней свободы системы) уравнений первого порядка. Решение этой системы
полностью определяется 2N постоянными, которые могут быть выбраны как
координаты начальной точки классической траектории в фазовом пространстве
координат q и импульсов р. Таким образом, движение классической системы
описывается зависимостями q(t) = q(q0, р0, t)\ р (t) = р (q0, р0, t); Т t
> 0. Если разрешить эти соотношения (что всегда можно сделать однозначно
для достаточно малых Т, считая точку (д0, р0) неособой), выразив
начальные точки q0 и р0 через величины q, р, t, то получаются функции
траекторий q0 (q, р, t) и р0 (q, р, t), постоянные на классической
траектории. Таким образом, они являются^ интегралами движения, т. е.
полная производная от этих функций, выраженная на языке скобок Пуассона,
равна" нулю. Отметим, что функциональная зависимость q0 и р0 от классиче-
7*
ских координат и импульсов может сильно отличаться от соответ-. ствующих
квантовых формул. Однако каноническое преобразование от классической
точки (д0, 2?0) к достаточно близкой точке (q (0> Р (0) задается
классической производящей функцией, которая соответствует в квантовом
случае оператору эволюции U (t) (см., например, [196]).
Перейдем теперь к обсуждению квантового случая. Поскольку имеется принцип
соответствия классической и квантовой механик и поскольку классическая
механика является предельным случаем квантовой механики, что прекрасно
демонстрируется в фейнмановской формулировке квантовой механики с помощью
интеграла по путям, для квантовой системы должно существовать 2N
интегралов движения, отвечающих данным классическим интегралам. Как в
классической механике любая функция от интегралов движения также
сохраняется, т. е. является интегралом движения, так и в квантовом случае
любая функция от сохраняющихся операторов (в частности, их коммутаторы и
антикоммутаторы) сама является оператором - интегралом движения. Поэтому
и можно выбирать в качестве 2N интегралов движения операторы, отвечающие
начальным точкам в фазовом пространстве; классической системы. Остальные
