Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
о
F = 2 '1г (Ei -f iE2) ехр ^ со (т) dx
о
А = 2 </г (е? + ге did?* + е?0 - е?0); В = 2~1/г (ге?* - е<9/<9? + ге?* -
ге?*)
(6.3)
ё + со2е/4 = 0; ?" + а)2?0/4 = F,
(6-4)
причем е = | е | ехр | е |~2 dx
3 И. А. Малкин, В. И. Манько
65
Операторы А, В удовлетворяют коммутационным соотношениям бозёвеких
бператоров рождения и уничтожения:
[А, АЦ = [В, ВЦ = 1; [А,В\ - U, ВЦ = 0. "
Эти операторы в случае равного нулю электрического поля (?0 = 0)
переходят в интегралы движения, построенные выше. Если полошить при этом
функцию е равной
ес = 2'/г сое'7* ехр (i(oct/2), (6.5)
где Юс - постоянная частота, инварианты (6.3) переходят в операторы,
построенные выше для случая заряда, движущегося в постоянном однородном
магнитном Поле.
Физический смысл интегралов движения (6.3), являющихся линейными
функциями операторов координат и импульсов, заключается в дом, что их
действительные и мнимые части задают начальную точку на классической
траектории. По теореме Эрен-феста для квадратичных систем средние от
операторов координат и импульсов движутся по классическим траекториям.
Физический смысл операторов (6.3) А и В можно пояснить еще и тем, что их
комплексные собственные числа задают как раз начальные средние значения
координат и импульсов. Любые другие интегралы движения, в частности
квадратичные, могут быть построены из линейных инвариантов (6.3).
Сформулированное утверждение переносится на другие квантовые системы (см.
нише, §§1,3 гл. III), однако для неквадратичных гамильтонианов явно
построить линейные интегралы движения, собственные комплексные числа
которых задают начальные средние от операторов координат и импульсов,
сложнее. Фактически это - задача о построении когерентных состояний и о
вычислении фейнмановского интеграла по путям для неквадратичных
гамильтонианов. Сведем, как и в § 5, задачу к случаю Е = 0 и построим
когерентные состояния.
Рассмотрим вопрос о связи решений уравнений (6.1) с решениями уравнения
Шредингера, когда электрическое поле отсутствует. Легко непосредственно
проверить, что унитарный оператор вида
(5.6)
D = ехр[- i (??* + C*to)j ехр
Со^ + Со|-* + ^(||Со|а-|1о|а)^ ; • ¦¦¦ 0 (6.6)
задает одно-однозначное соответствие решений ? уравнений (6.1),
(6.3) и решении Yq для заряда в переменном магнитном поле при равном нулю
электрическом поле, т. е. Y = -DY,,. Поэтому легко перенести все
результаты, полученные для заряда в магнитном поле, на рассматриваемый
общий случай. ^
Построим когерентныесостояния | а, |3; ?>, Я'В'ное выражение
для которых имеет вид (ср. с (5.7)) ^
|.а, & *> =• 6Г1Г?/*ехр{-1 (| ? |*'Н- • - •• - ' - - -
: ---^-(|а|4 : IР Р) - {l?0* - i -f- (it к - i -"Си) С*-
- ?е-121/г [а (?* + ??) - Ф & + Со)] -
t
-^т+гИ?|?а|2_|^о|2)^}; (6-7)
Легко убедиться, что нормированная, волновая функция | а, Р; ty является
решением уравнения (6.1) и удовлетворяет условиям А\ а, Р; ty = а \ а, Р;
?); В | а, Р; ?) = р | а, Р; ?>. Величины а, р - постоянные комплексные
числа.
Легко вычислить явный вид функций | /гх, п2; ty:
пип*\ ty - | а, 0; ty j--PL-a|)]]1/2i7,t (- l)<n'+n'+l n'"n' I)/* X , . .
X (^*1 r J'h-'hyi I е*у".+"Ц/2| /2"(?" + ?) | !x
x 4n'_nj|(2|e-^-|2), (6.8)
где p =1 /2 (^i + n2 - I щ - n2 1); L(tm) (x) - обобщенный полином Лагерра,
а величина | 0, 0; ty задается формулой (6.7), в которой а = р - Q.
Решение (6.8) переходит, как нетрудно проверить, в случае постоянного
магнитного поля и равного нулю электрического поля в известные волновые
функции, отвечающие состояниям с заданными энергией ЕП1 и угловым
моментом lz = ~ п2 - nv Таким образом, хотя ни энергия, ни момент в
рассмат-риваемой'задаче не сохраняются,' существуют квантовые числа;
отвечающие начальному моменту и начальной энергии, которые полностью
определяют решения и в последующие моменты времени. Этим показано, что
квантовые, числа в, данной задаче являются точными инвариантами. ' '
Легко проверить, что в когерентном состоянии (6.7) распределения по
квантовым числам /г, и /г2 являются распределениями Пуассона. >
Поскольку для рассматриваемой задачи известнъщточные per шения (6.7),
образующие полную систему функций, легко найти выражение для функции
Грина, которую можно получить из соотношения G(2,1) = л-2 j "Ра | а, р;
2)<а, Р; 1 |, либо воспользоваться оператором (6.6) и известной функцией
Грина для задачи без электрического поля. Опуская и&вестный множитель,
отвечающий свободному движению вдоль магнитного поля, имеем
3 * 67
для функции Грина следующее выражение:
G (а*, г/а, t2; хи г/i, h) = [2ni | е (П) е (t2) | sin у]-1 х
X ехр
+ (J(r)!-J?a)a ctg у+2 [J?i X -Вг]*! +
+ i ^ ("4 I So P - I So|2 j dx - i [?ato (?2) +?2 So (^2) - S1S0 (H) -Si
So(^i)]|"
f. '
где величины xu yt, tt выражаются через S; по формулам (6.2), длины
векторов Л( и величина у даются равенствами
Легко проверить, что при равном нулю электрическом поле (So = = 0)
формула (6.9) переходит в полученное выше выражение для функции Грина, а
