Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
него оператор эволюции (квадратичная экспонента) сохраняет первоначальный
функциональный вид состояния | га, 0) (полином Эрмита). В случае же
неквадратичного гамильтониана оператор эволюций таков, что изменяет
функциональный вид начального состояния (га, 0). ,
, Распределение вероятностей в когерентном состоянии с заданными числами
является распределением (Пуассона
. I <" I га) ехр (- i*-t) | [ . , (3.5)
11 -1 I1- -¦ '
Возможность построения когерентных состояний | а) и состояний | га) для
произвольных квантовых систем связана с известным свойством изоморфизма
гильбертовых пространств состояний. Благодаря этому свойству пространство
состояний лщбой ЛС-мер-ной квантовой, системы можно отобразить на
щюстрансыю состояний .ЛГ-мерного гармонического осциллятора, что делает
очевидным (Соответствие' квантовых: чисел последнего и квантовых чисел"
задающих с остояние любой системы. Обсудим теперь вопрос о связи
когерентных состояний с фейнмановским интегралом но путям.
7.9
Поскольку когерентные состояния являются полной системой функций, функция
Грина G (2, 1), являющаяся амплитудой вероятности перехода частицы,
находящейся в точке 1 в момент времени П, в точку 2 в момент времени t2,
вычисляется по следующей формуле:
G (2,1) = n~N ^ d2a (х21 a; t2> <а; h \ хх>. (3.6)
Эта формула аналогична формуле разложения функции Грина по любой полной
системе функций, например по функциям | п>:
О (2,1) = 2j <*21 п; t2> <п; h \ х{). (3,7)
П
Однако если вспомнить физический смысл переменной а, то формула для
функции Грина с интегрированием по когерентным состояниям приобретает
особый смысл. Фактически мы имеем выражение для функции Грина,
представленное через интеграл по фазовому пространству начальных средних
координат системы. Тем самым интеграл по траекториям Фейнмана всегда
сводится к интегралу по начальным координатам траекторий в фазовом
пространстве, причем переменных а как раз хватает для получения
требуемого выражения. Это связано, в частности, с тем, что классическая
система описывается уравнениями второго порядка. При квантовом
рассмотрении с помощью интеграла по путям системы, описываемой на
классическом языке уравнениями более высоких порядков, такого
согласования, по-видимому, уже не будет.
Заметим, что при вычислении амплитуды перехода из точки 1 в точку 2 как
интеграла по траектории интервал времени tx, t2 разбивается на малые
участки длины е, а затем е -*- 0 [99]. При этом на временном интервале е
траектория заменяется обычно либо отрезком прямой, либо кусочком
классической траектории (т. е. кривыми, задаваемыми начальной координатой
и скоростью). Предел при е -*- 0 при этом существует и дает функцию
Грина. Из проведенного рассмотрения вытекает, что, если соединять концы
интервала е кривыми, задаваемыми большим числом параметров, чем два,
предельная процедура уже не должна давать правильного значения функции
Грина. Этот вопрос требует дополнительного рассмотрения.
Следует подчеркнуть, что в тех задачах, для которых получены явные
выражения для функции Грина, легко построить и явный вид когерентных
состояний. Это позволяет воспользоваться стандартными методами техники
когерентных состояний, в частности рассматривать задачу на языке P-
распределения, введенного Глаубером [100].
Обсудим еще один аспект связи когерентных состояний и интегралов движения
с фейнмановской формулировкой квантовой механики. Для этого перепишем
формулы для инвариантов q0 и ро (1.1) в несколько иной форме. Запишем
ядра интегралов движения q0 и ро как интегралы по траекториям. Поскольку
ядро опе-
80
ратора эволюции U (функция Грина) в координатном представлении дается в
формулировке Фейнмана выражением (рассмотрим одномерное движение)
X,
G (ж", ti\ хи h) = ^ ехр S (ж2, h\жь *i) jj 3)х (t), (3.8)
U
где классическое действие S = ^ L (ж, х, т) dx определяется через
и
лагранжиан L системы и 3)х (t) - мера в функциональном интеграле, мы
можем выписать ядро оператора - интеграла движения qо - в виде (^ = 0, t2
= t)
qa {х, у, t) =
X у
х'dx' § §ехр \~к ^ Х' ^ - s* Х' 0]} (0 (r)*2/(0- (3-9)
х' X'
Здесь мы использовали то, что ядро оператора координат х имеет в
координатном представлении вид х (жх, ж2) - жхб (хг - ж2). Аналогично
можно выписать ядро оператора - инварианта р0; оно имеет вид
X у
Ро {х, У, 0 = - ih ^ dж'dж" ^ ехр [S (ж, х, t) -
Ж' Ж"
- S* {у, х", 0]} 3)Х (0 3)*у (о]б' (Ж - ж")- (3.10)
Заметим, что интегралом движения является также оператор f (q0) с ядром
Ж у
/ {х, у, t) = ^ f (x')dx' ^ jj ехр |-i- [S (ж, х, t) -
X' X'
- S*{y,x,t)]}g)x{t)3j*y{t). (3.11)
Аналогичное выражение пишется и для оператора произвольной функции
импульса f (р0).
Можно выписать ядра этих же операторов - интегралов движения - в виде
интегралов по фазовому пространству системы (в представлении когерентных
состояний). Имеем следующее выражение для ядра q0(х, у, t) (см. [101]):
д0 (ас, у, 0 =
== J d2ad2a'dsc' <зе|а; О <а; 0);аг'> х' <ос'| а; 0> <"'; t \уУ,
