Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
[oP _ ||P _ [a (S* + _ .p(? + So)] +
где a, p - постоянные комплексные числа, причем выполняются соотношения А
\ а, р> = а | а, р>; В | а, р> = р | а, р>. Когерентные состояния (5.7)
образуют полную систему функций в том смысле, что
л-2 j d2a d2p (х, у j a, p> <a, P | x, y'> = 6 (x - x')b (y - y'). (5.8)
Волновая функция (5.7), как и в случае магнитного поля, описывает пакет,
движущийся по классической траектории. По-
60
скольку когерентные состояния являются производящей функцией для решений
в представлении^ в котором диагональны квадратичные интегралы движения
А^А и ВГВ, легко получить явный вид этих решений:
| пи п2у = ехр (| 112 + | ?" |2) - (it* + -f- So) ? -
- (*to+ 1 So) ?* - i (пг + n2) -f - - + i jj (xl ^ I2 - | to |2) dt]
0
X I-----------------------V/2f- f1 (\t Л- r" |2(oVni-n"l/a x
x l[(p + hi-"a|)/2]i; < L> "-t- 6.01 x
X
X
S ~r So
s* + s*
(m_n0/a4n,',",((r)|S+ &.!*), (5.9)
где p = 1/2 (/ij + n2 - | пг - n2 |); Lp (x) - полином JIareppa, а Пи n2
являются положительными целыми числами. Функции (5.9) удовлетворяют
условиям А*А\пг, п2У = пг \ п2У; В^В j Пи п2У = п2 | Пи п2У и условиям
ортогональности <т1? т2\пи п2У = 6"imi6n2m2 и являются обобщением на
рассматриваемый случай решений для постоянного магнитного поля,
отвечающих состояниям с заданными энергией и моментом количества
движения.
Поскольку функции (5.7) образуют полную систему, функция Грина уравнения
(5.1) может быть легко вычислена из соотношения G (2, 1) = л-2 j d2a d2$
| a, P; 2) <a, P; 1 |. Эту функцию также легко получить из функции Грина
для заряда в постоянном магнитном поле [90], используя унитарный оператор
(5.6).
Введем обозначения
*> = - 2~1/2[(?2 + ?0 (t2)) е-ш'12 + (S* + S? W) еЫ,/а]
У 2
? 2-,/'[(?2 + So (fa)) е-Шг12 - (S? + So* (fa)) еШф]
и аналогично xv Уи Величины ?2 и ?* определяются из соотношения (5.2).
Функция Грина для уравнения (5.1) имеет, как легко показать, следующий
вид:
G{x2, у2, t2; хъ уи h) =
= со (4л? sin03 (*2~~ 1 ехр (? ^ | So |а - | to|2) dx +
h
+ i (to (h) ?? + to (?1) Si - to* (fa) ?2 - So (h) St) +
+ ctg (0 (t2~ ^ [(z2 - Xl)2 + (y2 - уг)2 + со{хгу2 - x2y^ . (5.10)
61
Множитель, отвечающий свободному движению вдоль магнитного поля,-
обычного вида. Функция Грина (5.10) имеет, в соответствии с [86], вид ехр
(i,Sci)F (t2, tj). Следует отметить, что когерентное состояние | а, р)
может быть получено действием унитарного оператора вейлевского сдвига D
(а, Р) = ехр (аА* - - а*А + рЖ - р*5) на вакуум: | а, р) = D (а,
Р) | 0, 0).
Рассмотрим теперь частный случай движения заряда, когда электрическое
поле постоянно, равно Е и направлено по оси у. Для рассмотрения зтого
случая достаточно в предыдущих формулах положить ?0 = F[со2. Отметим, что
в таком случае существует движущаяся со скоростью v - Е/Н вдоль оси х
система координат, в которой электрическое поле отсутствует, а величина
магнитного поля равна величине магнитного поля в неподвижной системе
координат. Такое соотношение полей согласуется с преобразованиями
Лоренца, в которых учтены только линейные члены по скорости. Однако
решения уравнений (5.1), (5.3) с взаимно перпендикулярными полями имеют
вид (5.7), (5.9) и в том случае, когда EIH у> 1, т. е. когда скорость
движущейся системы координат больше скорости света. Естественно, что
никакого внутреннего противоречия здесь нет, поскольку уравнение
(5.1) является нерелятивистским.
Соответствующие классические нерелятивистские уравнения движения для
заряда во взаимно перпендикулярных постоянных электрическом и магнитном
полях также имеют решения, описывающие движения со скоростью, большей
скорости света [70]. Переходу в движущуюся систему координат
соответствует оператор (5.6). Этот оператор задает нагруженное
бесконечномерное неприводимое унитарное представление группы Галилея.
Оператор (5.6) можно рассматривать как оператор сдвига Вейля, рождающий
из вакуума когерентное состояние, отвечающее постоянному магнитному полю.
Параметры этого когерентного состояния а, р меняются со временем: а =
2~l^Ee%t, р = 2~'!*Е (1 + t)
(частота со положена равной единице).
Следует отметить, что связь волновых функций для различных систем
координат для заряда в электромагнитных полях (оператор (5.6)) не такая,
как для движения частицы в заданном потенциальном поле (см. [53]).
Вычисление средних координат и скоростей по состояниям | п1,п2у для
постоянного электрического поля дает X = vt, у =0, vx = v, vy = 0. Для
электрического поля, равного нулю, получается обычный ответ для средних
по стационарным состояниям от операторов координат и скоростей. Среднее
от гамильтониана в этом случае по состоянию | nlt также имеет
естественный вид: Ж = + (^i + Уг)(r)- Легко подсчи-
тать среднее от координат и импульсов по когерентным состояниям. Эти
средние движутся по классическим траекториям в фазовом пространстве.
Интегралы движения А, В имеют следующий физический
62
смысл: в движущейся системе координат оператор В (величина Р) задает
