Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8.3. Геометрические свойства однородных моделей 213
Очевидно, координата с, определяемая (8.310), (8.312) или (8.314), может
быть использована вместо координаты г в (8.208) во всех трех
предшествующих случаях, причем метрика приобретает вид
ds2 = dt2 f W- + '2 + sin2 9 d^\' (8'317>
C R t { 1 _ }
l Л? I
Так как плотность и давление в (8.210) и (8.211) суть функции только от R
(t), изменение линейной координаты не будет изменять этих равенств. Этот
вывод можно обосновать, преобразуя с помощью формул Дингля уравнения
Эйнштейна для метрики (8.317).
Постоянная кривизны пространства k связана с объемом, лежащим внутри 0 ^
г О г( в трехмерном пространстве, определяемом условием t = const = ^0.
Этот объем, если положить R(t0) - R0, равен:
Ti т. 2г. Ti
-к> г>з Г Г Г г2 dr sin 0 rf0 do . пз Г г2 dr
J J -(T+FrW - = 4^oJ (i + ArW
0 0 0 0
(8.318)
Для случая k - -)-1 этот интеграл можно вычислить подстановкой г - 2 tg :
Т+= 4*/?H{arctg(-jri) - ~г^1 - }.
Но бесконечному значению г(- соответствует ш = и, и поэтому объем,
лежащий внутри 0^г<со, в любой момент 70 конечен и равен
Т+ (со) = 2^Rl (8.319)
Подобно поверхности сферы, которая не имеет границ и имеет конечную
площадь, сферическое пространство не имеет границ и занимает конечный
объем. Это представление таит некоторую опасность: сферическое
пространство не следует смешивать с объемом, лежащим внутри обычной сферы
в трехмерном эвклидовом пространстве. Такой объем имеет границу, а именно
поверхность сферы, и вне этой
214 Глава VIII. Однородные модели вселенной
сферы лежит большая часть "объема" эвклидова пространства. Сферическое
пространство не имеет подобной границы, вне которой лежала бы большая
часть его объема.
Если й = 0, то объем, лежащий внутри г = гу, равен
и, следовательно, с возрастанием rt. Наконец, если
k - -1, интеграл (8.318) можно вычислить с помощью
подстановки г - 2 th ; его значение равно
= 4 *Rl {1 (l +| г?) (i - j г])' - arc th (I гг)}, '
откуда видно, что Т'_ -> оо при гг-> 2. Таким образом, модели вселенной,
в которой пространство плоское или гиперболическое, таковы, что полный
объем пространства бесконечен, причем гиперболическое пространство, так
сказать, обладает большим объемом, чем плоское,
§ 8.4. Красное смещение
Первым шагом в анализе пространства-времени (8.208) будет выяснение того,
может ли оно дать объяснение красному смещению, наблюдаемому в спектрах
галактик. Для этого рассмотрим геодезические и нулевые геодезические
линии этого пространства-времени. Так как метрика ортогональна, можно
использовать уравнения геодезических линий (2.807), и удобно
воспользоваться эквивалентной формой (8.302) с такими обозначениями
координат:
?=х4, х = х4, у = х2, Z - X3.
Тогда уравнения геодезических линий имеют вид
^+?<rTw?i(4f)!=o- (84oi)
/=1
d I R2 dxl\ | ds \c2(l + ds J-*-
+wSwi(T)'=" (/= 1.2.3). (8.402)
J = 1
§ 8.4. Красное смещение
215
и нетрудно видеть, что для всех трех значений k и для любой функции R
класс решений этих уравнений будет
x4 = s + s0, х1 - х'о (г - 1, 2, 3), (8.403)
где Sq и три Хо - постоянные интегрирования. Так как решения этого типа
содержат только четыре произвольные постоянные, они не являются общим
решением уравнений, определяющих геодезические линии, которое должно
содержать восемь произвольных постоянных. Тем не менее частицы, движение
которых определяется (8.403), представляют особый интерес, так как все
они имеют фиксированные координаты (х, у, z), и интервал вдоль
геодезической линии любой из этих частиц измеряется посредством
координаты t. Поэтому мы предположим, что галактики, рассматриваемые как
источники света, можно отождествить с подобными частицами, и это
предположение будет использовано при нахождении теоретической формулы для
красного смещения.
Так как теперь Источник света имеет фиксированные координаты (х, у, г),
он должен иметь и фиксированные координаты (г, 6, tp), если метрика
выражена при помощи
(8.208). Пусть один из этих источников, расположенный в точке Рь с
координатами {rt, 0г, ср;), испускает свет, который наблюдается в точке О
с координатами (0, 0, 0). Распространение света описывается нулевой
геодезической линией, проходящей через Pt и О, уравнения которой
совпадают по форме с (8.401) и (8.402), с тем отличием, что s заменяется
на ненулевой параметр (х. Необходимо показать, что нулевые геодезические
линии радиальны, т. е. вдоль них 0 = 0г, ср = срг. Предположим, что это
имеет место; тогда для любой точки вдоль нулевой геодезической линии
между Р; и О
х = а V, у = a 2r, z - а Зг,
где (а1, а2, а3) - постоянные, которые, в силу (8.301), можно выразить
через 0г, срг:
а1 = sin 0г cos срг, а2 = sin 0; sin ср;, а3 -cos0?, так что
(a1)2 -f - (a2)2 -j- (а3)2 = 1.
§ 8.4. Красное смещение
217
сматривая передний фронт волны, получаем связь интервала времени от tt до
t0 с гг:
*о о
dt г dr
с '
/ R(t) ~~ S l + kr*/4' (8.409)
тогда как задний фронт волны дает
tfj+dto О
