Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
доказали, сводится к тому, что (8.208) является возможным частным случаем
общей симметричной формы (8.201); пригодность метрики (8.208) для
описания системы галактик остается предметом исследования, и остальная
часть этой главы, а также следующая глава посвящены этому вопросу.
§ 8.3. Некоторые геометрические свойства однородных моделей
Прежде чем продолжить наше рассмотрение, полезно познакомиться с
некоторыми свойствами пространства-времени
(8.208). Начнем с вопроса о размерностях координат и величины R.
Предполагая, как обычно, что s и t имеют размерность времени, а с -
размерность скорости, мы можем заключить, что г, как и 0 и ср, является
безразмерной величиной. Тогда k должно быть отвлеченным числом, a R
должно иметь размерность длины. Координаты г, 0, ср можно заменить
безразмерными координатами (х, у, г):
х = г sin 0 cos ср, у = г sin 0 sin ср, z = rcos0; (8.301)
14 Г. Мак-Витти
210
Глава VIII. Однородные модели вселенной
в этом случае (8.208) принимает вид
ds2 = dt2 - { dX{^ll^y2 }. (8.302)
Далее, пусть t = tL - некоторый выбранный момент времени; положим
R(ti) = Rt. Тогда значение R в любой мо-
мент времени, отличный от tt, может быть записано в виде
R(t) = Rte *git), (8.303)
где g (ffe- такая функция t, что g(tt) = 0. Вводя также линейную
координату С с размерностью длины посредством
С = Я,г, (8.304)
запишем метрику (8.208) в виде
^ ee(t) [ № + С2 dW + С2 sin2 6 dj* \ j / kl2 \ 2 I
i i + l-W t
14 R\)
Выбирая соответствующим образом масштабный множитель в определении г, мы
можем привести постоянную пространственной кривизны k к следующим
значениям;
k = 0, или - 1. (8.306)
Возможны следующие дальнейшие преобразования координат.
А = -|- 1. Пусть о, - новая угловая координата, определяемая соотношением
t, = Rir = 2Riig^-, (8.307)
из которого следует, что г (или С)->оо при ш->тг. Тогда
= Rt --- du), /1 + -Ц- \ = cos4 ,
cos*-J I *%) 2
и метрика (8.305) принимает вид
ds2 = dt2 - {<До2 -|- sin2 о, (dQ2 Д- sin2 0 dtp2)}. (8.308)
§ 8.3. Геометрические свойства однородных моделей 211
Метрика трехмерного пространства, определяемого условием t = const, имеет
вид
ds2 - R2 {rfo)2 sin2 о) (dO2 -(- sin2 0 dcp2)}. (8.309)
Эту формулу следует сравнить с метрикой двумерной сферической поверхности
(2.203). Нетрудно видеть, что выражение
(rf62 -(- sin20 df2)
в формуле (8.309) играет роль члена rfcp2 в формуле (2.203), R-аналог
радиуса сферы а, ш заменяет 0. Таким образом, выражение (8.309)
представляет собой обобщение на случай трех измерений понятия поверхности
сферы обычной эвклидовой геометрии, и потому говорят, что пространство,
соответствующее модели вселенной (8.208) с k=\, является "сферическим0.
Читателю следует обратить внимание на сходство формул (2.205) и (8.309),
когда последняя формула выражена через первоначальную координату г, а
именно
, о п0\ dr2 4- г2 (d02 + sin2 в dy2)
ds2 - /?21 и
Еще одну форму этой метрики можно получить введением линейной координаты
? с размерностью длины, определяемой соотношениями
i = R sin (о = -Rir ~ = Srr-ж- (8.310)
г 1 + r2/4 1 + С2/(4 Rf)
Так как
^ R^l-^jR2^'
метрика (8.308) принимает вид
ds2 = dt2--J^ [~f2/R- +р,2 (йS2 + sin2(c) rfcp2)}. (8.311)
Эти четыре формы метрики с k=l (8.208), (8.305), (8.308) и (8.311)
отличаются лишь тем, что содержат различные линейные координаты,
перечисленные в (8.310). Эти изменения не более существенны, чем те
изменения в геометрии сферы, которые вытекают из перехода от формулы
(2.203) к формуле (2.205).
14*
212
Глава VIII. Однородные модели вселенной
k - Q. В этом случае мы имеем
С = Е = /г<г, (8.312)
и метрика соответствующей модели вселенной имеет вид
ds2 = dt2------^2 (d? + d02 + sin2 6 dcP2)- (8-313)
c Rt
Так как момент t - tt произволен, то при соответствующем определении \
метрика трехмерного пространства при t = tt имеет вид
ds2 - d'r? -|- ?2 db2 -)- ?2 sin2 0 dcp2,
что совпадает с метрикой трехмерного эвклидового пространства, выраженной
через сферические координаты (к, 6><р)-Поэтому о модели вселенной с k = 0
говорят как об имеющей "плоское пространство". Это не означает, конечно,
что плоским является четырехмерное пространство-время, так как условие k
= 0 не гарантирует с необходимостью того, что обращаются в нуль тензор
Римана - Кристоффеля или тензор Риччи, как можно видеть из правой части
(8.210) и (8.211).
k = -1. Определяя С посредством (8.304) и определяя координаты о) и | при
помощи соотношений
; = г = 2/?tth-?,
п -ь - Rir С
: * S11 U) 1_г2/4 1_^2Д4^.)2
(8.314)
можно записать метрику этой модели вселенной в виде
ds2 = dt2 {fifto2 -sh2 о) (dd2-j- sin2 0 dcp2)), (8.315)
либо
ds2=dt2 - -^r (-^^+^(de2+sin2erfcp2)] (8.316)
С Д/ { 1 4 ) •
l 4Д2 j
Первая форма показывает, что трехмерное пространство t - const является
трехмерным аналогом поверхности с метрикой (2.207). Эту модель вселенной
называют моделью с "гиперболическим пространством". Из (8.314) следует
также, что ш и ? обращаются в бесконечность при г- 2, или С= 2Rf.
