Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
были достигнуты весьма незначительные успехи (см. § 9.8), что объясняется
ее исключительными математическими трудностями. Эти трудности, однако,
могут быть преодолены, если заменить дискретные массы системы галактик
непрерывным распределением вещества. Поле тяготения и движение этого
непрерывно распределенного вещества должны быть выбраны так, чтобы как
можно лучше удовлетворить данным наблюдений. Будем представлять себе
вещество в виде идеальной жидкости; тогда данные предыдущего параграфа
подсказывают, что эта жидкость должна обладать сферической симметрией
относительно точки наблюдения, т. е. Земли. Очевидно, подобная
идеализация может служить только грубым приближением к реальной системе,
так как при этом мы игнорируем не только дискретный характер самих
галактик, но и тенденцию галактик образовывать скопления. Поэтому для
учета этих особенностей рассматриваемая картина должна быть
модифицирована.
Если Земля находится в точке г - 0 в сферически симметричном
пространстве-времени с метрикой
ds2 = ev dt2 (fifr2 -}- r2 fifO2 -J- r2 sin2 0 dcp2), (8.201)
где v и (л - функции г и t, то 4-вектор скорости жидкости
сводится, как было показано в § 6.4, к виду
и4 ф 0, ul = qu4, и2- 0, м3= 0, (8.202)
§ 8.2. Однородная модель вселенной
207
где, в силу (6.423),
.(8.203)
Остающиеся уравнения Эйнштейна суть (6.425) - (6.428). Последнее из этих
уравнений показывает, что имеется подкласс метрик пространства-времени
(8.201), в котором # = 0. Сейчас мы покажем, что условие q - 0 не
означает с необходимостью, что жидкость покоится относительно
рассматриваемой системы координат, а является некоторым ограничением,
наложенным на систему отсчета. В силу этого ограничения система отсчета
является сопутствующей, т. е. координаты rut выбраны так, что
"сферическая поверхность" г = const движется вместе с веществом, лежащим
на этой поверхности. Согласно (6.428), сопутствующие координаты
существуют, если v и р, удовлетворяют дифференциальному уравнению в
частных производных
Интегрируя по переменной г при постоянном t, получаем
где R(t)- произвольная функция t, производную которой по t мы обозначили
через R'. Интегрируя по переменной t и считая на этот раз г постоянным,
получаем
где х(г) - произвольная функция г. Таким образом, сопутствующие
координаты существуют, если р, и v связаны соотношением (8.204).
Если в (6.426) и (6.427) положить # = 0, то получаем два выражения для р,
тождественные при
1
Prt - ~2 IW
(8.204)
у О1 + v)rr + ~2 у О + v)r -(- -i- =
= 7-(p+v)r+4 (8-205)
последнее равенство является условием совместимости рассматриваемой
задачи. Рассмотрим теперь подкласс метрик
208 Глава VIII. Однородные модели вселенной
пространства времени, в котором а) существуют сопутствующие координаты и
б) функция v^=0. Тогда из равенства
(8.204) вытекает, что
|* = Х(0 + 21пЯ, (8.206)
так что условие совместности (8.205) сводится к обыкновенному
дифференциальному уравнению для х
Л2г
dr2
_ 1 dl I 1 / dI \2 r dr ' 2 \ dr J
Подстановка - = w дает
1 dw 1
w2 dr 2 Г'
Интеграл этого уравнения имеет вид
1 d\ k
w ¦
r dr 1 + /гг2/4 '
где k - постоянная интегрирования. Последующее интегрирование дает
Х = - 2 1n(l+/fer2/4); (8.207)
постоянную интегрирования, имеющую смысл масштабного множителя, можно
положить равной нулю. Таким образом, пространство-время (8.201), в
котором v = 0, а (х дается формулами (8.206) и (8.207), имеет метрику
"0 = dfi-"1М { . (8.208)
где R - произвольная функция t, a k - некоторая неопределенная
постоянная. В отличие от общего случая (8.201) пространство-время (8.208)
однородно [4]; другими словами, если выбрать за начало координат г = 0
другую точку, то математическое выражение для метрики не изменится, и
будет существовать преобразование координат, связывающее исходную и новую
систему координат. Это свойство отражено в значениях плотности и давления
рассматриваемого распределения вещества, которые получаются из (6.425) и
(6.427), если положить
v = 0, [i = ln {/?2(1 -)-6г2/4)-2}, = 1. (8.209)
§ 8.2. Однородная модель вселенной
209
Выражения для р и р имеют вид
•/.c^p = -|г(^c2 + /?,2) - Л, (8.210)
2 Я" Я'2 kc* , * ,оо1ю
¦/.р ----------------^-^ Я^ + А' (8.211)
Следовательно, и давление и плотность не зависят от про-
странственных координат г, 6, ср и являются функциями только времени t.
Таким образом, распределение вещества, описываемое (8.208), представляет
собой идеальную жидкость, давление которой, конечно, изотропно, и в
которой в любой момент времени плотность, как и давление, имеют
одинаковое численное значение во всех точках пространства. Поэтому
рассматриваемое распределение вещества можно называть однородным, а класс
пространства-времени с метрикой вида (8.208) будет представлять
однородную модель вселенной. Это определение однородности было сделано с
помощью уравнений Эйнштейна (6.425) - (6.428) и, следовательно,
предполагает справедливость этих уравнений. Однако все, что мы до сих пор
