Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мак-Витти Г.К. -> "Общая теория относительности и космология" -> 58

Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.

Мак-Витти Г.К. Общая теория относительности и космология — М.: Иностранная литература, 1956. — 283 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 85 >> Следующая

JT
§ 7.2. Сферическая симметрия и линейные волны
193
откуда
Р = - yr h (rf~l),
где h - произвольная функция г/-1. Интегрирование по частям по переменной
г дает требуемое выражение для ф;
ф = h(rf-')dr - P(T)drjdT, (7.202)
или, вводя переменную С подстановкой:
C = r/_1, (7.203)
имеем
ф = -У JjJ Р (Т) dT | dT. (7.204)
Производные и интегралы, требующиеся для вычисления р и р по формулам
(6.445) и (6.444), перечислены ниже:
сг=1 //, С т = -Ь-г = -Ц-Х..
Фг = -^-. 1*гг = -V^ = -(Ae + -^A)/-8.
фг = - fP(T)dT+^{f АЛ + АС),
Фгг = -^+(^-^)(/АЛ + Л)-
fr
#гт А (7'205)
' = = -%(С2А)с,
/ 7А- = -7г(/АЛ + АС),
Л ^ 1 Л А2
)-Fdr = -f - dL
13 Г. Мак-Внтти
194
Глава VII. Частные решения уравнений
Из приведенных выражений следует
/, = Р(70--^(/АЛ+АС)--^?-(/ + |й*),
(7.206)
P = 7r(^-^f)- (7.207)
Вычисление скорости изменения энтропии S упрощается при введении
переменных
Я(С)= J AdC + A С,
7(С) = / хЛ+тЛ2-
(7.208)
Замечая также, что (7.201) и (7.203) дают
dt
dT
0,
мы получаем из (3.208) после некоторых преобразований dS
<72о9)
+ Зт у--jf\ Н + 8*0 (4 - 3Т) ^ j] •
Следовательно, подкласс адиабатических линейных волновых течений
описывается функциями Р(Т), /(Г) и Л (С), которые удовлетворяют уравнению
Рт + 3Т If-Р = {(^) + з7 A *f\ н о -
I г / / ! (7.210)
_87lG(4-3T)^-J(C).
Левая часть этого уравнения является функцией только Г, так что правая
часть не может зависеть от С. Ограниченность места снова не позволяет нам
дать исчерпывающее описание всех возможных типов адиабатических движений
[3]; однако в последующих параграфах приведены два характерных примера.
$ 7.3. Линейное волновое расширение газового шара 195
§ 7.3. Линейное волновое расширение газового шара конечных размеров
Следуя методу, примененному к одномерному движению газа, сначала
пренебрежем гравитационным самопритяжением массы газа. Другими словами,
будем считать, что градиент давления является главной силой, определяющей
течение газа, по сравнению с которой силой тяготения можно пренебречь.
Уравнения (7.206), (7.207) и (7.210) принимают вид
Выберем следующие граничные условия:
а) плотность и давление конечны всюду внутри газового шара, в том числе в
центре при г - 0;
б) вне шара находится вакуум, так что на границе р - 0, р = 0. Если
радиус шара в момент времени Т равен гь (Т), то
Следовательно,
так что функцию / можно отождествить с внешним радиусом газового шара.
Тогда в силу (7.203) С=0 в центре и С=1 на внешней границе массы газа.
Пусть индекс нуль отмечает значения / и ее производных в момент времени
Т0 и пусть р0с и р0с - соответственно конечные плотность и давление в
центре газового шара в этот же момент времени. Если предположить, что Р~
/г7-//2, то функции в (7.303), зависящие от Т, пропорциональны друг
другу, и уравнение (7.303) будет удовлетворено при произвольной функции h
(С), если
Рт+ 31 ~ р = { (~)т + 3t f-j- (^)} Н (С). (7.303)
rb(T) = f(T),
(7.304)
(7.305)
13*
196
Глава VII. Частные решения уравнений
Решением (7.305) является
p = Poc{yT' (7'306)
и это решение может быть подставлено в (7.304) для получения
дифференциального уравнения для /, а именно
dif __ Рас v:3(T-l) ,2-3-г
йТ* - Рое j •
Если fT принимает значение v0 при Т = Т0, интегралом этого уравнения
будет
{W) - 'I = a2vo(/30(1"т) - /3 (1-т)). (7-307)
где, используя уравнение состояния (3.204), имеем
а2- 2-Рос ГЗГу-П -- 2з?3"о с ГЗ(т-1)
3 (т 1) Pocvo 0 3 (y 1) vq о
Таким образом, при
P = a2(l +a2/g(1_T))_1. jc2 = /3 (т-1) - р2
уравнение (7.307) может быть сведено к квадратурам
х 5-3-f
v0 (Т - Г0) = wj-iyT / (х2 + р2)^0 rf*. (7.308)
где
0 0 2ftc + 3(T-l)f0IvJ •
Значение этих формул иллюстрирует характерный пример. Если газ является
одноатомным (например, водород), то 1С = 5/з и (7.308) может быть
проинтегрировано:
vo - ^о) - - хо)-
Очевидно, не теряя общности, можно положить 7^ = 0. Тогда для / получаем
формулу
§ 7.3. Линейное волновое расширение газового шара 197
и поэтому из (7.201) получаем для скорости се JCq ан0Т/Э
4 = Т V° fl + 2а*0.077Р + а
Г.
При действительном q х^^О, что независимо видно из
Следовательно, q всегда действительно. Ясно также, что при возрастании Т
/ ->м0Т/$, т. е. граница удаляется пропорционально времени, в то время
как скорость стремится к простой зависимости r/Т. Если у не имеет
частного значения 5/3, то интегрирование (7.308) становится более
сложным, но можно доказать, что в конечном счете / будет возрастать
линейно с Т.
Если функция / найдена из (7.308), то необходимо еще выбрать функцию h
(С) так, чтобы удовлетворить граничным условиям. Можно показать, что
любой многочлен с постоянными коэффициентами
где по меньшей мере ах, а2 и а3 не равны нулю, является подходящей формой
для h. Для давления и плотности из
(7.208), (7.301), (7.302), (7.304) и (7.306) получаем:
В центре массы газа С = 0, и центральное давление и плотность в любой
момент времени Т даются выражениями:
2 2 2
2 __ Рос'о/о 'о ,2 "
0 Рос + РоОо ^Гос + ''o °
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed