Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
скоростей изменения со временем расстояний D и Рассмотрим сначала
фотометрическое расстояние. Пусть световой сигнал испускается в Pt при t
- tt ш достигает О при t - t0, тогда как сигнал, испущенный в Pt в более
поздний момент t = ti-\-Ml, достигает О при t = tQ-\-?d0. Так как л-
координаты точек Pt и О фиксированы, опять можно использовать аргументы,
которые привели нас к соотношению (8.411), откуда
_ЛtA==B±
о Rq
Тогда изменение D, в силу (8.517), равно
An^fgft + Afo) R4U) ) п
*(f4) J 1 + Аг?/4
*о / Л , о < ЛЛЛ R't
(8.523)
- " . . 1 -(- 2 -- Д?0 )I 1 L^ )_i ---------------------------
Ri IV 7?0 / \ Rt J ll-Jj-kriJi
Здесь мы разложили разность в фигурных скобках в ряд Тейлора и
использовали штрих для обозначения производной R по t. Поэтому скорость
изменения D со временем, наблюдаемая в О, есть предел при Д^0->0, что
можно
ДГд
15*
228 Глава VIII. Однородные модели вселенной
назвать скоростью удаления VD для фотометрического расстояния. В силу
(8.523) и (8.517), мы имеем
/2R' - R'\ R?. г, 2R'-R':
VD = {------------U-!--------i_ = __2-------- D. (8.524)
V R0 J Rt \ + kry4 R0
Рассмотрим теперь расстояние, определяемое по видимому размеру объекта.
Скорость изменения % со временем, наблюдаемая в О, равна пределу при
Д?0->0. Это дает скорость
удаления V^ по отношению к расстоянию, определяемому по видимому размеру;
используя (8.523) и (8.502), получаем
/ R',\ R,r, R',
Vz= - ----------------------------------(8.525)
\Rj\+kr]y R0
Так как для произвольной функции R(t) красное смещение 8 дается формулой
(8.412), невозможно простым способом выразить VD и Vf через 8, хотя с
помощью методов, которые будут изложены в гл. IX, могут быть получены
приближенные формулы. Наш пример (8.505) иллюстрирует, какого рода
различия имеют У5, VD и VТак как в этом случае
J-t
R' = ceR" из (8.508), (8.519) и (8.524)
Vо = с (1 + 2о) sin о,
тогда как (8.508), (8.509) и (8.525) дают т 7 с sin 8 Е= (1+")2 '
Очевидно, если 3 столь мало, что квадратами и более высокими степенями 8
можно пренебречь, то
У, = Ув = У^ = сЬ
и все три скорости удаления равны друг другу. Но если красное смещение
велико, то это равенство нарушается. Например, источник, для которого
о=1, имел бы скорости удаления, равные
1Л = с, Уд = 2,52с, 14 = 0,21с,
которые значительно отличаются друг от друга. Таким образом, хотя
относительное смещение спектральных линий имеет в общей теории
относительности вполне определенный смысл,
§ 8.6. Звездные величины. Показатель цвета
229
это не относится к скорости удаления соответствующей этому смещению
линий; эта скорость оказывается различной в зависимости от принятого вида
расстояния. В частности, объект, для которого 8=1, не обязан иметь
скорость удаления, равную с (т. е. равную локальной скорости света), как
это часто предполагают само собой разумеющимся.
Расстояние, определяемое по объему. Расстояния D и; играют важную роль,
так как имеются очевидные экспериментальные методы нахождения этих
расстояний. Однако можно постулировать типы расстояний, определяемых для
чисто теоретических целей. Можно, например, ввести расстояние Е,
определяемое по объему, положив, что объем, лежащий внутри 0 г ^ гг в
момент t0 выражается соотношением
.. 4я ГО
V - - Ed 3
В силу (8.318), определение Е можно выразить в следующем виде:
rt
ss=3"S/ jiCt'w <8-526)
О
Эта формула показывает, что в общем случае Е не совпадает ни с D (8.517),
ни с \ (8.502). Например, для нашей модели (8.505) из (8.506) и (8.508)
следует, что
Е = #о{4 (^ - sin ^cos^)}3 > тогда как (8.519) и (8.509) дают
D = /?0(l+8)sin8, S =
Но опять-таки при достаточно малом 8 E = D = ? = tf08.
§ 8.6. Видимая и абсолютная звездные величины. Показатель цвета.
Смещение спектральных линий допплеровского типа, при котором отношение
cCkfk постоянно для всех длин волн, наблюдаемых у данного источника
света, сказывается на
16 Г. Мак-Витти
230
Глава VIII. Однородные модели вселенной
распределении энергии в наблюдаемом спектре источника, а это
распределение энергии в свою очередь связано с видимой и
абсолютной звездными величинами и с показателем цвета.
Можно развить общую теорию этих эффектов, которая не зависит от какой-
либо частной интерпретации смещения спектральных линий. Пусть Рь-один из
источников, а Вг-наблюдаемое в точке О смещение спектральных линий,
излучаемых данным источником. Волна, испущенная с длиной волны Хг, имеет
в точке О длину волны X, где
Х = (1+8,)Х(> (8.601)
и, так как 8г не зависит от длины волны,
d\ = (l+bl)dli. (8.602)
Пусть Bl(kl)d\i- энергия, излучаемая в интервале длин волн за единицу
времени и приходящаяся на единицу поверхности излучателя (измеряемая в
эрг/см2 ¦ сек). Функция Вь зависит не только от длины волны, но и от ряда
параметров, описывающих физические условия источника Р[ш Например, если
Р{ - абсолютно черное тело, то имеется только один параметр - температура
д'р, в этом случае функция Bt имеет вид
Bi = B (JV ----------1" 81с?2 Г эРг1см2 • сек' (8.603)
