Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
о = т]т-1 = 1,133, (8.514)
§ 8.5. Расстояние и скорость удаления
223
ник имеет л?= со, однако это не так. Значение г1 - оо
-- t.
означает, что tt получается из соотношения е #<> 1-l=ic; это
соответствует Е = 0. Другими словами, и г1 - 0, и лг = со соответствуют Е
= 0, а максимальное значение Е можно под-
-~t
считать следующим образом. Пусть т) = е г, тогда, в силу (8.507),
Е - sin (т; - 1), (8.510)
= iilnl"-cos с,-1)}, (8.511)
Д -= Д } (( -1 - cos(тд - 1) - V)sin(vj- 1)|. (8.512)
Из (8.511) следует, что экстремальное значение Е по отношению к
переменной ^ (но не ^0) соответствует г) = у]т, где
1) = 71 т
или
tg^m- 1) -Ou - 1)= 1-
По таблицам натуральных значений тригонометрических функций легко найти,
что наименьший корень этого уравнения лежит вблизи
7^ = 2,133. (8.513)
Более того, если индекс т указывает значение некоторой величины при 7) =
Y|m, то равенство (8.510) принимает вид
г> sin (1,133) _ " ,nn Ио "2ЛЗЗ
тогда как (8.512) имеет вид ЛЧ
т
¦ jj- (2,133) sin (1,133) < 0,
т
откуда видно, что Ет- максимальное значение Е- Для красного смещения
спектральных линий, излученных наиболее удаленным объектом, мы получаем,
в силу (8.508) и (8.513),
В = тг)т- 1 = 1.133, (8.514)
§ 8.5. Расстояние и скорость удаления 225
Предположим теперь, что за некоторый малый промежуток времени в точке Рь
беспорядочно во все стороны излу-чается я фотонов. Среднее число фотонов,
проходящих череа единицу площади St за единицу времени, равно
щ п
S7-^7^7*
Пусть эти я фотонов проходят через S0 за время At0. Тогда,, так как
нулевая геодезическая линия, соединяющая Pt с некоторой точкой на S0,
представляет движение фотона, и обе эти точки имеют фиксированные
координаты (г, 6, <р), снова можно использовать тот аргумент, с помощью
которого была выведено соотношение (8.411) из (8.409) и (8.410), и, таким
образом, показать, что
Atg , , 5. jRo
Д и - "Г Rt ¦
Таким образом, средняя плотность потока фотонов через равна
Пд П Щ Rj
Sg Sq ht0 S0 AtQ Sq Rq
а средняя плотность потока энергии через SQ
Л,
(8.516>
М, = (f-§) (f-? ) = (*l) j d
\ *1 Ro / \ So Ro / \ Sikl J [ Щ /*"
Величина йсяг/5;Хг - плотность потока энергии через S,-, уносимой
фотонами с длиной волны Х/. Энергия, падающая на единицу площади S0 за
единицу времени, изменяется, обратно пропорционально квадрату величины
R*
D = -4--------(8.517)
Ri 1 + krt/4 к
Эту величину мы и назовем фотометрическим расстоя~ нием источника Pt,
измеренным в О в момент наблюдения Фотометрическое расстояние и
расстояние, определяемое по видимому размеру объекта, в общем случае не
равны друг другу, поскольку в силу (8.502) и (8.517)
Rl
(8'518>
15 Г. Мак-Витти
226 Глава VIII. Однородные модели вселенной
Тем не менее D и ? приближаются к равенству, когда источник Pt таков, что
разность значений R при t = t, и t = t0 оказывается пренебрежимо малой.
В рассматриваемой модели вселенной (8.505) фотометрическое расстояние
точки Рг, в силу (8.518) и (8.507), выражается так:
D = R0e t( sin(e 1 - 1) =
= Rqу] sin (т) - 1) = Р0(1 + 8) sin 8. (8.519)
Для наиболее удаленного источника света фотометрическое расстояние
определяется теперь условиями
^ = 0, ^<0, dt, dt] ^
а уравнение для г\т имеет вид
tg ('Пт- 1) + (Чт- 1) = - Ь
Приближенное значение корня этого уравнения равно
rlm=l+-J+0,332 =2,903. (8.520)
Таким образом, максимальное фотометрическое расстояние некоторого
объекта, свет от которого достигает О при ^0 = 0, равно
Dm = R0 (2,903) cos (0,332) = 2,7 R0.
Фотометрическое расстояние до некоторого объекта с максимальным
расстоянием, определяемым по видимому размеру, в силу (8.513) и (8.519),
равно
Tfm = + (2,133) sin (1,133) = 1,93Р0 = 4,6?т.
Поэтому фотометрическое расстояние является более эффективным средством
зондирования пространства (Dm > D*m)< кроме того, для удаленного объекта
фотометрическое расстояние и расстояние, определяемое по видимым
размерам,
далеки от равенства друг другу (D*m > +)•
Красное смещение, соответствующее Dm, в силу (8.508) и (8.520), равно
8 = 1,903, (8.521)
§ 8.5. Расстояние и скорость удаления
227
так что длина волны света, достигающего О, в 2,903 раза больше длины
волны света, испущенного объектом.
В § 8.2 было упомянуто, что условие q = 0 еще не означает, что
распределение вещества неподвижно. Это утверждение мы сейчас подтвердим,
показав, что источник света Pt имеет некоторую скорость по отношению к
наблюдателю в О. Предположим, что неравенство (8.413) справедливо, так
что все спектральные линии смещены в красную сторону. Тогда, обращаясь к
классической теории эффекта Допплера, мы получим несколько наивное
определение, полагая скорость удаления Pt равной
Vb = ch. (8.522)
Но "скорость" означает "степень изменения расстояния со временем", и
слабость предыдущего определения заключается в том, что при этом не было
конкретизировано расстояние, о котором шла речь. Более удовлетворительные
определения скорости удаления могут быть получены при рассмотрении
