Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
проиллюстрировать на примере пространства-времени с метрикой
(8.208); этот разбор важен потому, что он поможет выяснить вопрос о
расстоянии. Мы детально обсудим три типа расстояния: другие типы
рассмотрены Мак-Кри [5].
Расстояние, определяемое по видимому размеру. Для определения этого типа
расстояния рассмотрим модель вселенной с метрикой, записанной в виде
Выберем в качестве небесного объекта некоторую галактику, которая, как
известно, не является точечным источником света, а занимает конечную
(хотя и малую) площадь небесной сферы. На рис. 4 ABCD - контур видимой
границы галактики, причем точка Р{ с фиксированными координатами
С
о
L
Р и с. 4,
Ш-4 R\
где
§ 8.5. Расстояние и скорость удаления
221
(ri< ?г) лежит внутри этой области, а точка наблюдения находится в О с
координатами (0, 0, 0). Координаты точки контура А равны (г;, бг-{-Д0г,
срг + Д?г) и- таким образом, отличаются на малые углы Дбг и Дсрг от
координат точки Pt. Свет, испущенный точкой контура А в момент tt,
достигает точки О в момент после прохождения вдоль радиальной нулевой
геодезической, линии АО. Следовательно, любые две образующие конуса
нулевых геодезических линий, вершина которого находится в О, а основанием
является ABCD (например, АО и СО), образуют друг с другом в точке О угол,
который зависит от разностей Д0г и Д;рг для А и С соответственно. Поэтому
видимый из точки О размер единичной площадки в пределах контура ABCD
определяется телесным углом, опирающимся на единичную площадку в момент
tt испускания света из точек контура А, В, С, D. Но метрика
П г
двумерной поверхности t = t[t ? = ^ ^ f~ имеет,
в силу (8.501), вид
ds2 - Щ (с/62 sin2 0 d<.р2),
-2
и, следовательно, интересующий нас телесный угол равен h . Поэтому, если
расстояние до источника света, представляющего собой малую конечную
площадку вокруг Pt с фиксированными координатами (rt, 0^, срг),
измеряется по видимому размеру площадки, то мы получаем величину,
называемую расстоянием, определяемым по видимому размеру объекта. Оно
дается соотношением
t -_ЯЛ._ (8.502)
l+krj/4
где момент испускания света (tt) и момент прибытия света в O(t0) связаны
уравнением нулевой геодезической линии
h о
dr
•c/t4=/t+w- <8-503>
Всегда, когда приходится иметь дело с неопределенной функцией и с
постоянной, которая может принимать более
222
Глава VIII. Однородные модели вселенной
одного значения, полезно рассмотреть характерный пример. В качестве
примера можно рассмотреть случай
Lt
R = aea , * = +1. (8.504)
где а - некоторая постоянная с размерностью длины. Модель вселенной,
определенная таким образом, не имеет особого физического интереса; ее
достоинство заключается в математической простоте. Начало отсчета t
произвольно, и поэтому можно положить t0 = 0, тогда момент времени tL
испускания света некоторым объектом, видимым в О в момент tQ - 0,
-к
будет отрицательным. Очевидно, еа - 1, и поэтому а = R0. Таким образом,
мы имеем
-/ -t
t0 = 0, е""=1, *,< 0, R = R0eR. , * = + 1.(8.505)
С помощью соотношений (8.505) можно подсчитать интеграл
в левой части уравнения (8.503) и выразить г{.
л, = 2tg| - i)}. (8.506)
Таким образом, выражение для расстояния, определяемого по видимому
размеру Рг, имеет вид
5 = R0e R° sin (е R° *1-l). (8.507)
Так как R увеличивается с ростом t, спектральные линии смещены в красную
сторону и, в силу (8.412) и (8.505),
t
Ь = е R° г- 1, (8.508)
так что равенство (8.507) можно также записать в виде
% = sin В. (8.509)
Другой интересный вопрос, который можно иллюстрировать с помощью модели
вселенной (8.505), связан с источником света, имеющего максимальное
расстояние, определяемое по видимому размеру, который можно наблюдать в
точке О. Можно было бы думать, что этот наиболее удаленный источ-
§ 8.5. Расстояние и скорость удаления
223
ник имеет ri=oa1 однако это не так. Значение rt = со
-- t.
означает, что tt получается из соотношения е R* 1-1=тс; это соответствует
с = 0. Другими словами, и г; = 0, и г1 = со соответствуют ? = 0, а
максимальное значение Е можно под-
считать следующим образом. Пусть 7j = e R<> \ тогда, в силу (8.507),
? = ^ Sin (Т7 - 1), (8.510)
-§; = с{ - cos (У) - 1)} , (8.511)
== пн- т - COS (Т) - 1) - т; sin (г, - 1)1. (8.512)
dt] Rо l П I
Из (8.511) следует, что экстремальное значеЕше Е по отношению к
переменной tt (но не t0) соответствует т] = т]нг, где
tgOlm- 1 ) = Vm
или
tg'Olm- !) - (Vm- 1)= 1-
По таблицам натуральных значений тригонометрических функций легко найти,
что наименьший корень этого уравнения лежит вблизи
2,133. (8.513)
Более того, если индекс m указывает значение некоторой величины при у\ =
г\т, то равенство (8.510) принимает вид
... _п sin (1,133) ,1ПО V7Z. - 'м) 2Д33 (tm) 0,4^Л?П,
тогда как (8.512) имеет вид
=-------(2,133) sin (1,133) < 0,
dtj / ^0
1 / т
откуда видно, что \т - максимальное значение Для красного смещения
спектральных линий, излученных наиболее удаленным объектом, мы получаем,
в силу (8.508) и (8.513),
