Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
п
(7.309)
П
Р - ~р ^ О' + 2) а/^ •
7 = 1
Отсюда
¦з
198
Глава VII. Частные решения уравнений
и поскольку рс > 0, то должно быть а1 > 0. На внешней
границе ?= 1 и р = 0, так что коэффициенты а;- должны
быть выбраны так, чтобы удовлетворить условиям:
" гЗ V J + 2 "
Рос/о 2j j-f-i ai'
7=i
П
0 = 2 (j -j- 2) aij,
J=i
что можно сделать всегда. Читатель может легко проверить, что последние
два условия выполняются при
а1 == з" Роcf°' °2 = Рос/о" а3== 2р0с/о
Д/ = 0, (у = 4, 5, . . ., п),
и для этого случая, вспоминая, что С - г/-1, получаем
,=М^Г{.-Ш-З(7)3+1ШГ (7,,т
Таким образом, для любого момента Т максимум р достигается в центре, а
минимум - на внешней поверхности газового шара. Плотность возрастает до г
- 9//20, а затем падает до нуля при г = f.
Как и в случае одновременного течения, учет тяготения резко сокращает
возможные случаи движения адиабатического потока. Чтобы удовлетворить
уравнению (7.210), теперь необходимо принять
Я (С) = 2Л7(С),
где А - произвольная постоянная. Это уравнение дает либо h=(./A, либо /г
= 7?С-2, где В - постоянная интегрирования. В первом случае р=3/(Л/3), и
удовлетворить граничному условию (б) невозможно; во втором случае р = 0,
что тривиально. Поэтому в общем случае сферически симметричное линейное
волновое гравитационное течение, удовлетворяющее граничным условиям (а) и
(б), неадиабатично. Другими словами, если в газовом шаре мы каким-либо
способом создадим в начальный момент времени линейное волновое течение,
§ 7.4. Линейные волны в однородном газе
199
то оно будет нарушено, если не подводить (или не отводить) энергию к
каждому элементу газа определенным образом. Необходимо отметить, что в
любом гравитационном движении, при котором Р, / даются (7.306) и (7.308)
и h определяется так, чтобы удовлетворить граничным условиям, потери
энергии в 1 смг за 1 сек даются выражением
dE Q " З7 - 4 fr j
dJ. _ 8nO /5 J,
как можно убедиться из (7.112) и (7.209). В любой момент процесса
движения скорость потери энергии во всем объеме шара дается выражением
471/3 / hrС2 Л = 327120 J* f Л2 dL
о Т
Если шар расширяется, то /7-// > 0 и, очевидно, / > 0. Более того, в силу
(7.208) интеграл Д2 по С от С = 0 до С=1 также будет положительным.
Отсюда заключаем: если газовый шар расширяется вследствие гравитационного
линейного волнового течения, то для поддержания движения газ должен
излучать энергию (в предположении, что 7 > 4/3, что, конечно, справедливо
для реальных газов). Но если газ состоит, например, из идеализированных
"шероховатых шарообразных молекул" [4], то *с=4/3, и движение может
продолжаться без подведения или отвода энергии. Взрывы новых и сверхновых
звезд происходят, по-видимому, более сложно, чем мы рассматривали здесь.
Тем не менее интересно отметить, что линейное волновое расширение
происходит с испусканием энергии (преимущественно в форме излучения) и не
требует поглощения энергии газовым шаром.
§ 7.4. Линейные волны в однородном газе
Имеется частный случай линейного волнового течения в ньютоновской
механике, интересный тем, что он дает аналогию космологии общей теории
относительности. Если в уравнении (7.207) предположить, что р не зависит
от г, то функция h будет удовлетворять уравнению
2 h ,3
200
Глава VII. Частные решения уравнений
где р0, /0 - постоянные. Отсюда
Л = | Ро/оС + 4' (7'401)
где А - постоянная интегрирования. Подстановкой полученного выражения в
(7.206) и интегрированием получаем
р = Р(Г)-1р0/з(^ + ^р0|>)с2 + 4*О^.
Если также предположить, что /> не зависит от г, то нужно положить Л-0 и
, , 4kG /о " .по\
/ггМ з Роуг - 0- (7.402)
Первым интегралом этого уравнения будет
7-^)' <7'4оз)
где &л//0- постоянная интегрирования, a kn - некоторое число. Последующее
интегрирование дает
V ^p"*^r0)=a,csin/
- arc sin Y kn^-V kn(\ ~ kn), (кпФ 0) (7.404)
И
f = t6TMPof30t(T-TQ)2, (A" = 0), (7.405)
где T0 - вторая постоянная интегрирования. Таким образом, если / дается
(7.404) или (7.405), то плотность, давление и радиальная скорость газа
будут равны соответственно
уЗ /.
Р = Роуг> Р = Р(.Т), Ч = -у-г. (7.406)
Так как давление и плотность не зависят от пространственных координат,
будет правильным называть газ однородным; его физическое состояние будет
одним и тем же во всех точках пространства в любой момент времени Т.
Плотность и скорость зависят друг от друга в том смысле, что одна и та же
функция / определяет обе величины. Однако давление не зависит от
плотности до тех пор, пока не
§ 7.4. Линейные волны в однородном газе
201
принимаются во внимание термодинамические соотношения. Если, например,
течение является адиабатическим, то из
(3.208) следует, что
р=Мт Г'
и, следовательно, Р теперь также зависит от /.
В § 7.2 было показано, что зависимость скорости линейного волнового
течения имеет одну и ту же форму для любого элемента газа, выбранного в
качестве начала отсчета; подобный же результат для силы тяготения
получается комбинированием (6.449), (7.204) и (7.401) при Л -0. В
