Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
* / А-/(tm) <""">
так как координата г точек Pi и О фиксирована. Но
t0+dta ( <" h+dta\
I ТГ = { /+/ + /
t.+dti ( (i+dti J
dt/ i r dt ,
_____________ dtj , Г
R(t0)'
Поэтому, вычитая (8.409) из (8.410) и используя только что полученный
результат, имеем
dt9 (8.411)
R(tt) R(to)
Таким образом, dt0 и dtt не равны друг другу, за исключением случая R =
const. Следовательно, период световых колебаний в точке О отличается от
периода световых колебаний при испускании света в Pt.
Соотношение (8.411) можно выразить через длины волн следующим образом.
Испускание волны в точке Pt есть событие (t{, rt, 0г, (рг), или, в силу
(8.301), событие (t{, xt, zt). Поэтому локальные декартовы координаты в
окрестности Pi имеют вид
x* = t - tit XJ = -R{tl\ (xJ - xi) (j= 1, 2, 3),
1 1 -\-кгЫК l) U
218 Глава VIII. Однородные модели вселенной.
где, как обычно, (х, у, z) - (xl, х2, х3). Таким образом, метрика (8.302)
локально имеет вид
з
ds2 = (dX*)2~~±%(dX')2,
J=i
и, следовательно, локальная скорость света в Рг равна с. Если длина волны
испущенного в точке Рь света равна то мы имеем
с dtf = \t.
Вводя локальные декартовы координаты вблизи события (t0, 0, 0, 0),
которое описывает прибытие световой волны в точку О, мы можем показать
аналогичным образом, что длина волны света в точке О равна Хг-|-dk,
причем
с dt0 - Хг -(- dk.
Но так как отправление переднего и заднего фронтов волны из точки Pt суть
события (tL, rt, 0г, срг) и (ti-\-dti, rt, 0г, <рг), интервал между ними
равен, в силу (8.208), dsi - dti. Соответствующие события в точке О для
волны, испущенной там с периодом dt№, разделены интервалом dsm = dt00.
Инвариантное определение эквивалентных волн (испущенной в Pt и испущенной
в О) может быть получено так. Предположим, что эквивалентность означает
dsl - dsm, отсюда dtm = dti. Следовательно, ХД = Х) является также длиной
эквивалентной волны в точке О, так что
к = с dtm = c dtt, (X -)- dk) = с dt0.
Наконец, полагая 8 = - , R0 = R (t0), Rt = R (t{), из соотношения (8.411)
имеем
8 = ^-1. (8.412)
Pi
Эта формула указывает на то, что относительное изменение длины волны
зависит только от значений R при t - t{ и t = tQ и одинаково для всех
длин волн. Поэтому 8 по своей природе сходно с эффектом Допплера и, как
будет сейчас показано, может быть связано со скоростью изменения
расстояния между О и Pt. В настоящее время согласно наблюдениям 8 > 0 при
R0 > Rt, т. е. существует красное смеще-
§ 8.5. Расстояние и скорость удаления
219
ние спектральных линий Pt, наблюдаемых в О. Однако теория однородной
модели вселенной не гарантирует этого, так как функция R (t) не
определена. Между тем, однородность может быть столь же хорошо совместима
и с противоположной возможностью отрицательного (фиолетового) смещения,
или с возможностью как положительных, так и отрицательных смещений.
Например, рассмотрим источник света Pj, который испускает свет при f = ^
tt, достигающий О при t - t0. Тогда R могло бы быть таким, что
Яо Я/> < Rj-
Таким образом спектральные линии Р( были бы смещены в красную сторону, а
линии Pj--в фиолетовую. Вопрос о том, какая из однородных моделей может
представлять наблюдаемое распределение галактик, является, таким образом,
предметом практического исследования. Не теория, а опыт должен помочь
выбрать соответствующую функцию R. Если отождествить точку О с
наблюдателем на Земле и момент времени t = t0 с настоящим моментом, то
то, что все обнаруженные до сих пор галактики имеют 8 > 0, означает, что
функция R должна удовлетворять условию
R0>Rl (8.413)
для всех приемлемых моментов испускания tt.
§ 8.5. Расстояние и скорость удаления
Нет, вероятно, такого вопроса в космологии, который вел бы к большей
путанице, чем вопрос о смысле понятия "расстояние", Эта путаница,
вероятно, проистекает из того обстоятельства, что астрономы привыкли
применять, например, в теории движения планет или в задаче о движении
звезд ньютоновскую механику с ее абсолютным временем и абсолютным
пространством. В любой момент абсолютного времени понятию "расстояние
между двумя небесными телами" может быть приписан единственный смысл.
Достаточно сказать, что это - эвклидово расстояние между точками
абсолютного пространства, в которых расположены эти объекты, в
рассматриваемый момент времени. Расстояние, таким образом, неявно
отождествляется с некоторой абсолютной и единственной в своем роде
величиной, опреде-
220 Глава VIII. Однородные модели вселенной
ленным образом сопостав"яемой двум небесным телам в каждый момент
абсолютного времени. В общей теории относительности, однако, такое
понятие уже неприемлемо: расстояние становится функцией не только этих
двух тел, но и функцией той процедуры, посредством которой измеряется это
расстояние. Различные процедуры могут (а в общем случае будут) вести к
различным "расстояниям", и не имеется ни одного расстояния, которое можно
было бы назвать "правильным". Это положение вещей можно хорошо
