Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
тяготения, несмотря на то что локально поле тяготения всегда может быть
ликвидировано преобразованием координат. - Прим. ред.
ГЛАВА V
Пространство-время Шварцишльда
Как хорошо известно из ньютоновской теории тяготения, потенциал частицы
массы М на расстоянии г от этой частицы равен ф = Mjr, и этот потенциал
является так называемым элементарным решением уравнения Лапласа
У2ф = 0.
Однако ф = Mjr можно рассматривать так же, как потенциал тяготения сферы
массы М конечных размеров на расстоянии г от центра сферы и вне ее. Таким
образом, имея только элементарное решение уравнения Лапласа, без
дополнительной информации, невозможно отличить частицу (точечную массу)
от сферы конечных размеров. Это следует иметь в виду при интерпретации
аналога элементарного решения уравнения Лапласа, который будет теперь
получен из уравнений Эйнштейна.
§5.1. Метрика пространства-времени Шварцишльда
Рассмотрим пространство-время, обладающее сферической симметрией,
метрические коэффициенты которого не зависят от времени. Метрика его, в
силу (4.415), имеет вид
ds2 - e'dr)dt2 - {e^W dr2г2 dQ2-^-г2 sin2 Ь dy2}, (5.101)
где v, р - функции от г, подлежащие определению. Предположим, что центр
сферической массы М определяется значением г -0, и пусть тензор энергии
вне этой массы тождественно равен нулю. Предположим также, что
космологическая постоянная равна нулю. Тогда, используя § 2.8 и
§ 5.1. Метрика пространства-времени Шварцшильда 129
формулы (2.507) и (4.111), имеем уравнения Эйнштейна
D _ d2(ln/- g) д_ ( а 1
Xtl дх1'- дхх дх" | V J
+{^UbUr("l^=0- (5Л02)
Для пространства-времени (5.101) с определением индексов
(4.417) имеем
V- g= -^-^2 (v+|l)r2sin б},
g" = e-\ gu = - cte~v-, (5-103)
g22 =- c2r~2, g3Z = - c2r~2 sin-2 9,
и, обозначая производную по г штрихом, имеем следующие отличные от нуля
символы Кристоффеля 2-го рода:
{АК* {АНАНАНАК-
{мНЦНт"'* {22}= ге~2'> ШЧзгН^9' {^} = -"-^п20.
ш=-
sin 0 cos 0, | 44 cV~r-v'.
Число ненулевых компонент тензора равно четырем, и десять уравнений
(5.102) сводятся к следующим:
Я* = с W { -1 v" - +1 р/v' -1 (v')2} = 0, (5.105)
я"=тv" ~ т- т +т w2=°* <5-106>
Я33 = sin2 ея22 = sin2 0 {e-f-+-I Ге~* (У-ц')- l} = 0. (5.107)
Уравнение Яи + -^- ev'~',Rit=0 удовлетворяется при условии
ja' + v' = 0,
т. е. при
|А = V,
9 Г. Мак-Витти
130
Глава V. Пространство-время Шварцишльда
тогда как уравнение (5.107) удовлетворяется, если (1 -j-r/)e1' = 1,
т. е. если
где а - постоянная интегрирования. Теперь легко проверить, что функции
е'' = е-* = \-у (5.108)
удовлетворяют каждому из трех уравнений (5.105)-(5.107). Очевидно, что ev
и стремятся к единице при г -=> со, и поэтому при больших значениях г
пространство-время Шварц-шильда вырождается в пространство-время
Минковского. Однако оно не является плоским, так как при малых значениях
г тензор Римана - Кристоффеля (2.504) имеет отличные от нуля компоненты.
Таким образом пространство-время (5.101) имеет метрику
причем тензор gv имеет одну бесконечную и одну нулевую компоненту при г =
а; эти компоненты тензора меняют знак при г < а. Таким образом, (5.109)
определяет пространство-время, представляющее поле тяготения вне
сферически симметричного распределения вещества с центром в г = 0.
Имеется особая область внутри 0 ^ г ^ а, которая при а - 0 становится
особой точкой. Однако равенство а = 0 сводит пространство-время (5.109) к
пространству-времени Минковского и, таким образом, означает исчезновение-
поля тяготения.
Постоянная а определяется посредством перехода к теории Ньютона, и этот
переход удобнее всего произвести с помощью уравнений геодезической линии.
Используя (2.807) совместно с (5.103), (5.108), имеем соответственно для
Х = 4,
[ г J
(5.109)
2 и 3;
(5.110)
(5.111)
(5.112)
§ 5.1. Метрика пространства-времени Шварцишльда 131
а вместо уравнения для X = 1 мы можем использовать интеграл (2.808), а
именно
(5.113)
Эти четыре уравнения в согласии с принципом геодезических линий
представляют движение частицы в поле тяготения, представленном
пространством временем (5.109). Уравнение (5.110) может быть
проинтегрировано и дает
-i=P"- = P(l-Г)". (5-П4)
где (3 - постоянная интегрирования. Подставляя последнее выражение в
интеграл (5.113), получаем
+г2{^+гЧхпЧ{ж!)-
Скорость частицы относительно системы координат (t, г, 0, <р) может бцть
определена как нетензорная величина q, причем
=73Т- (чг)2+r2 m+r2 s5n2 6 (¦ж)2 <5-115>
г
и, следовательно,
1 --
откуда
<5Л16)
Если движение таково, что частица может достигать бесконечных значений г,
то ее скорость на бесконечности будет V, где, в силу (5.116),
132
Глава V. Пространство-время Шварцшильда
Рассматривая случай чисто радиального движения, при котором q - функция
только от г и t, из соотношения (5.115) получаем, что
/ а \~1/2 dr
q=V-T) -ж
Используя этот результат и дифференцируя равенство (5.117) по t, получаем
(5Л19>
что может быть названо (нетензорным) радиальным ускорением частицы.
Предполагая, что а/г мало по сравнению с единицей, из формул (5.118) и
