Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мак-Витти Г.К. -> "Общая теория относительности и космология" -> 36

Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.

Мак-Витти Г.К. Общая теория относительности и космология — М.: Иностранная литература, 1956. — 283 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 85 >> Следующая

четырех координат. Формулы Дингля можно рассматривать как основную
справочную таблицу в общей теории относительности. Вводя обозначения
t?tL = °>" (С |*=1. 2, 3, 4),
и аналогичные обозначения для частных производных от А, В и С, имеем
следующие выражения Дингля для символов Кристоффеля метрики (4.401):
/Ч-А 1 11 -A J 1А I И_А
til) - 2А' (21 ) 2^4 ' (3l) - 2А' \41 f 2^4 '
12) - _ A. i21 -A 1Ч = о J21 = 0
(11)" 2В ' (21 ) 2В 131) 141) и'
1 3 I = _ А |31 = 0 = J3l =
t 11 j 2С ' (21) (3l) 2С (41)
) 4 | л ]4|_q> ) 4
0,
41 ) 2 D
) 4 I = A 1Ч = о |41
111) 2D' \ 21 j ' (31 )
/11_ А |Ч__А |Ч = о 14 = 0
(12) 2А ' 122 J - 2 A (32) (42)
i2l - A J2l -A J2A J2l_A
( 12 ) " 2 B' 1 22 j 2 В ' ( 32 ) ~ 2 В ' 1 42 ) 2 В
i3 l_o i 3 I - _A J3l_ A l3l = o
112 ( - ' (22) 2C ' (32 ) 2C (42) u'
= {22}~' {з42} = °- 141
ША 14*' UHAjiH'
/ 2 I - о { 2 1 - 4 | 2 I - о
113 ) -U' (23) 2B ' 133) - 2B ' (43) '
J3l_A /3l_A i3l -A i3l - A
(13)- 2C ' (23) ' 2C (33) 2C (43) 2С
8 Г. Мак-Витти
114 Глава IV. Принципы общей теории относительности
{l3> = 0' Ш
Ш-&- Ш
{14 } = °' Ш
{ 14 } = °' {24}
{?}-&•
= 0,
:0,
= 0,
Ш=
ш= ш= {?} =
D,
с 4 f 4 ) _Dj_ I 43 1 - 2 D '
2D '
0, I 1 144 1 - 2A '
0, (21 D2
1 44 j " 2B '
C4 ( 3 ) D3
2C ' 1 44 ( 2C '
D3 2D ' 144J 2D (4.402)
Десять уравнений Эйнштейна (4.106) имеют вид:
ХА4Г11
1 ( Взз + С2
¦D,
D,
2( ВС
3~3 1 ^2 I С2В2 + В3
1{*яся + с? 4 \
BD
2
CD
B4D4-D2 ,
D2B2 -Bj
ВС2
CaD. - D\
4 4 з
СВ2 D3C3 -
cj
BD2 ' DS2 C2D2 -f~ B3D3 - B4C4
CD2 1 DC2 BCD
DBjC, + CB,D, + BC,D
t{
4I33 4~ Cii 2 1 AC
lRC3 + C? 4 Г
ABCD ¦4u - Du C4
AD
^1^1 + -4;
CD
\D~D\
l| + A, (4.403) }-
AC2
С A2
AD2
Vr
. a2
4
С .D -
4 4
¦ Do
D3<V
1 DA2 CD2 ~ DC2
CjDj -f- A3D3 A4D4 DA2C2 -j- CA2D2 + AC2D2 ACD ABCD
y.c2CT33
A22 + В,
A44 - Di
Й44 - D(
AB
AD
1 HB2+B?
4 ( AB2
b4c4-d2
BjAj +Al BA2
D2B2-B\
BD АяОЛ - D?
4 4 1
}+A, (4.404) }-
D^-A2
BD2
AD2 ' B{Dl -(- A2D2 -
DA2
- A4B4
DB2
ABD
°--зйз + + ^3°3 | + A, (4.405)
§ 4.4. Ортогональное пространство-время 115
1 | А,2 В2 + В2 ' 4 (
422 4 В,
433 4 с |
^33 4 ^2
АВ
в^АЛ 4 42
АС ^ ЧСз + С?
ВС
•}-
+
АВ2
В3с3+ с2
' В42
С2В2 + Вз
' АС2 ' С42
в1с,4ЛС24ЛВз т
+
ВС2
СВ2 ABC
С44В4 4 В44С4 4 4B4C4 ABCD
j + A. (4.406)
4- %c2ABT12 = %c2ABT21 = - 1 j +
1 1 (C,C2 1 D{D2 , 42C] , 42D, "r" 4 ( C2 D2
AC
BXC2
AD
B,D2
' BC ~ BD
-h * A4C743 = xeMCT3* =
1 (DBl34BO,3l , 1 (B,B3 , ~ 2( BD / 4 V
}, (4.407)
D t D2
43Bj
BD
43D,
С i В.
1 AB ^ AD + v.c2BCT23 = %c2BCT32 = -
B2
ClD3
D2
I 1_ f 4243
T 4 1 Л2
1 CB ' CD
1 J D423 4 4B>23
2 V
D"D3
AD
АаВз

} +
(4.408)
+
4 ( Д2 1 D2 D2B3 P3C2
AB
AC
DB
DC

(4.409)
- xc2ADTu = - %c2ADT41 = - у |Cg,4+:-gCl4| 4-
44B, 1 44Cj ,
I 1 (B1B4 ' 4 \ B2
CA
C2
4B
B4D,
AC
C4D,
- v.c2BDT24 = - y.c2BDT42 =
______1_) CA24 4 4C241 1_ I 424.
BD
C2C4
CD
4,B4
¦J, (4.410)
42 ^ C2 C2Bi 44D2 j
4B
C4D2
' BC 1 4D - %c2CDT3i = - v.c2CDT43 ==
B434 4 4B34
=-4-
43C4
4C
4B
I BjCA
r~ BC
}+t{
CD
1 f 4344
}•
(4.411)
B3B4
А2 п B2 I B4D3
AD
BD
j. (4.412)
8*
116
Глава IV. Принципы общей теории относительности
Прежде чем мы начнем рассматривать различные частные случаи метрики
(4.401), следует отметить, что обозначения (л;4, х1, х2, л;3) для
координат очень громоздки; гораздо удобнее использовать различные буквы
для' каждой координаты. Практически приписывание индексов 1, 2, 3, 4
координатам - например, при расчетах символов Кристоффеля - можно
производить мысленно.
Теперь приступим к перечислению трех классов пространства-времени,
которые все относятся к категории метрики
(4.401) и имеют частные свойства симметрии. Доказательство того, что
пространство-время действительно обладает тем или иным свойством, не
будет дано, так как это завело бы нас в "дебри" теории групп и теории
дифференциальных уравнений. Читатель, интересующийся этими вопросами,
может обратиться к специальной литературе, приведенной в списке
цитированной литературы.
1. Плоская симметрия. Метрика пространства-времени, в котором каждая
плоскость л; = const является плоскостью симметрии, имеет вид [3];
ds2 - e2f dt2 - {e2fdx2-\- e2h(dy2-{- dz2)), (4.413)
где / и h - произвольные функции x и t. Обозначения использованных в
выражении (4.413) координат таковы;
t - х4, х = х1, у = х2, г - хъ. (4.414)
2. Сферическая симметрия. Метрика такого пространства-времени может быть
построена, если рассмотреть сначала трехмерное эвклидово пространство,
метрика которого в сферических координатах была найдена в § 2.2 и имеет
вид
ds2 - dr2 + r2dd2 -j- г2 sin2 0 dy2.
Используются две формы для метрики ортогонального пространства-времени,
симметричного относительно точки г - 0, а именно
ds2 = e',dt2 {e^rfr2-j-r2rf02-l-/-2sm20rfcp2}, (4.415)
где v, jjl -- произвольные функции г и t, и
ds2 - e^dt2 ^2" {dr2-\-r2 dd2-\- r2 sin2 0 d<f2}, (4.416)
§ 4.4. Ортогональное пространство-время 117
где v, |х - по-прежнему произвольные функции г и t. Вторая форма для
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed