Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
! r^(^1+v2/z " 2 1 (б*')2
2 dx' дл:"1 Поднимая один нижний индекс, имеем R4=g%4= --JSC2V2/,
/d-Л-л"-
и, следовательно,
з
^ Я^ = - scV(/ + 2A). (4.213)
•V2//
f = l
§ 4.2. Физический смысл постоянной т.
107
Поднимая оба нижних индекса, получим
R4i =-^ec2V2f, Ям = 0,
R1
/\2
^ = iK4W 2 дх1 дхт
(4.214)
Поэтому, используя (4.106), (4.209), (4.213) и (4.214), получаем
следующие уравнения Эйнштейна с А = 0:
- '"2 { (р + -§-).(й4)2 - f (1 - еЛ} = (4.215)
- *с2 (р + ?) Л4 = 0, (4.216)
- хс2|(р + -^-)(кг)2 + Р(1 - еА)| =
= 1^4\*Sl±JtL_v4f + h)y
же
{дх1)2
{(Р+i)"'""}=l,c
I 0¦(/+*)
дх1дхт
(4.217)
(4.218)
где в силу (4.103) и (4.207) 4-вектор скорости удовлетворяет условию
(1+e/)(a4)2_Jjf?^("02
1.
(4.219)
i = 1
Уравнения (4.126) и (4.219) показывают, что
й' = 0(/=1. 2, 3), и4 - 1 - -i
е/.
так что распределение вещества находится в покое относительно
используемой координатной системы. Поэтому, согласно (4.218),
д* ({+^- = 0, (4.220)
дх1 дхт
и три уравнения (4.217) приобретают вид
-жс2р{ 1 - ей) == -| ее41 - V2(/ + h)) • (4.221)
108 Глава IV. Принципы общей теории относительности
На этом этапе появляется типичное условие, которое будет весьма важным
впоследствии. Необходимое условие совместности трех уравнений (4.221)
имеет вид
й* (/+*)_ d2(f+h) _ d2(f+h) " оооч
(<?х')2 (дх2)2 ~~ (дх3)2 '
что является ограничением возможного выбора функций / и h, диктуемым
алгебраической формой тензора энергии в комбинации с априорным выбором
формы (4.207) для метрического тензора. Возникающие таким образом
уравнения мы будем называть условиями совместности-, они не являются
тензорными уравнениями, но играют фундаментальную роль в приложениях
уравнений Эйнштейна. Уравнения
(4.220) и (4.222), очевидно, удовлетворяются при
/ = -А,
и остающиеся уравнения Эйнштейна, согласно (4.215) и
(4.221), имеют вид
- у-р(1 Н-еЛ) = еУ2/г, • (4.223)
у.р(\ - еЛ) = 0. (4.224)
Последнее из этих уравнений показывает, что давление равно нулю в
пределах принятой нами степени точности. Теперь мы предположим, во-
первых, что в общей теории относительности должны фигурировать, помимо Л,
две мировых постоянных х и с; и, во-вторых, что общая теория
относительности должка сводиться к ньютоновской теории тяготения, когда с
отождествляется с . Первое предположение удовлетворяется, если положить
е= 1/с2, что находится в согласии с предположением о малбсти этой
постоянной. Второе предположение совместимо с наличием множителя 1/с2 в
постоянной у. и с предположением, что р, р, / и h не содержат множителей
порядка с2. Тогда ньютоновским приближением к (4.223) служит
- lim (хс2р) = У2/г с-> <5"
- уравнение, которое тождественно уравнению Пуассона
- 4icGp = V2V, если h = 2V, и
§ 4.3. Принцип геодезических линий
109
последнее равенство определяет х. Если вместо V используется потенциал ^
- VjA%G, то мы имеем
Метрика пространства-времени статического распределения вещества,
ньютоновский потенциал тяготения которого есть 4теО(|)(л:11 х2, х3),
имеет, в силу (4.207), вид
при условии, что были опущены квадраты и более высокие степени 1/с2 при
раскрытии уравнений Эйнштейна.
§ 4.3. Принцип геодезических линий
В § 3.7 было указано, что времяподобная геодезическая линия пространства-
времени Минковского представляет историю движения частицы, подчиняющейся
первому закону движения Ньютона. Более того, в § 3.3 было показано, что
движение частицы в однородном поле тяготения обладает всеми свойствами
движения, подчиняющегося первому закону Ньютона, за исключением того, что
движение является ускоренным. Поэтому мы можем предположить, что
геодезические линии риманова пространства-времени представляют историю
движения частицы, подверженной гравитационному ускорению,- предположение,
которое может быть подтверждено исследованием геодезических линий
пространства-времени (4.226). Так как метрика ортогональна, применимы
уравнения (2.807), и уравнения геодезической линии имеют вид
вЛ = -в/ = -^<|> = *ф.
ds2 = (1 - у.'Ь) (dx*)2 - -{(dx1)2 + + (dx2)2 + (dx3)2},
(4.226)
d
ds
(4.301)
(/= 1, 2, 3). (4.302)
110 Глава IV. Принципы общей теории относительности
Первое уравнение может быть проинтегрировано и дает
^ = р(1+*ф), (4.303)
где р - постоянная интегрирования. Но первый интеграл
(2.808) в нашем случае имеет вид
и, следовательно,
з
о-*)(#)*- = .
j=1
у' = 1
Таким образом, уравнение (4.302) может быть записано в виде
^{(1+хф)^}_^1^{2р2~1+^(1+2р2)1 =0-
(4.304)
Ньютоновское приближение получается при отождествлении с с &, так что в
силу (4.226)
sssx*==T, (4.305)
и в этом случае (л:1, х2, х3) превращаются в прямоугольные координаты
X2, .Лу ньютоновской инерциальной системы.
Более того, х->8п:О/^Р2->0, у.с1 - 8п:0, и в силу (4.303) и (4.305) (3-
>1. Поэтому уравнения (4.304) приобретают вид
d*Xt дф 0V .. . 0
аТ2 -4гсО дх_ - ду_ (i - 1, 2, 3),
что представляет собой систему ньютоновских уравнений движения частицы в
поле тяготения с потенциалом V, причем собственными гравитационными
