Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
(5.119) получим
JL ас2Л 2Р2 \
dt 2 г2 V1 с2 )'
Отсюда, пренебрегая членом V2/c2, имеем dq 1 ас2
ЧГ~~~2 Т2"'
а это уравнение имеет ту же самую форму, что и уравнение Ньютона для
(радиального) движения частицы во внешнем поле тяготения сферической
массы М, если
2GM
что определяет а. Удобно заменить а на постоянную 2tn, где
1 GM .. . n .
яг=Та==_72_' (5.120)
тогда метрика (5.109) перепишется в виде
rfs2 = (l - -BgL) Ж-Ц dr22-m -\-r2dQ2-\-r2 sin2 9 ,
Г (5.121)
что является стандартной формой метрики пространства-времени Шварцшильда.
Она представляет в общей теории относительности поле тяготения вне
сферической массы М, центр которой находится в г = 0. Так как особая
область 0^г^2тге имеет конечные размеры при М ф 0, представляется более
правильным рассматривать (5.121) как обобщение решения
§ 5.1. Метрика пространства-времени Шварцшильда 133
уравнения Лапласа для поля вне сферы конечных размеров, нежели как аналог
решения для точечной массы в теории Ньютона.
Если пространство-время описывает гравитационное поле Солнца, то
и так как радиус Солнца равен 6,963 • 105 км, то особая область находится
глубоко внутри Солнца. Это означает, что задолго до того, когда
достигается особая область, мы встретимся с веществом Солнца, и решение
(5.121) уравнений Эйнштейна уже не применимо, так как тензор энергии не
равен более нулю, когда мы проникаем сквозь физическую поверхность
Солнца. Аналогичные выводы справедливы для всех других звезд, так как' их
физические радиусы всегда много больше произведения 2О/с2 на массу
звезды.
В пространстве-времени Шварцшильда может быть введена новая радиальная
координата г посредством соотношения
- -7(1 + J-)4{rfr2 + r2d02+r2sin29dc?2), (5.123)
что представляет собой изотропную форму метрики. Делая подстановку
t - х4, х1 = г sin б cos ср, x2 - r sin б sin ср,
2 GM"
2m ----------5- - 2,956 км,
с2
(5.122)
так что
Тогда (5.121) принимает вид
д:3= /-cos 9,
134
Глаза V. Пространство-время Шварцшильда
получаем
* (1+# fxV
-~(i + {{dx'f + (dx*? + (dx*f\, (5.124)
где
r* = (x>)" + (x2)2 + (x")*.
Пренебрегая в формуле (5.124) членами порядка (m/r)2, получаем
ds2 = (l (dx*)2_ _L ^ [{dxlf+{dx2f+ (^3)2,.
Последнее равенство имеет форму (4.226) при
8жG . 20 М
чф = ф =------------- .
т с2 т с2 г
Итак, первое приближение к пространству-времени Шварцшильда соответствует
ньютоновскому полю тяготения с потенциалом
л , М
4то1> == -, г
который является элементарным решением уравнения Лапласа
У2ф = 0.
Преобразование Лоренца (3.401) оставляет неизменной математическую форму
метрики пространства-времени Минков-ско) о (3.601). В пространстве-
времени Шварцшильда ((5.124) не имеется аналогичных преобразований из-за
наличия особой
области 0 ^ г ^ -у. Но, конечно, могут быть введены локальные декартовы
системы координат для событий в окрестности некоторого данного события в
пространстве-времени Шварцшильда, и преобразования Лоренца между этими
координатными системами существуют. Таким образом, специальная теория
относительности в пространстве-времени Шварцшильда справедлива локально.
§ 5.2. Обыкновенные геодезические линии
135
§ 5.2. Обыкновенные геодезические линии пространства-времени Шварцшильда
Теперь мы детально изучим уравнения обыкновенных геодезических линий
(5.110) - (5.1ТЗ). Начнем с обсуждения значения постоянной (3 в выражении
(5.117) для скорости частицы, а именно
2т М2
с* - 4 X 2 р г Я '
В силу (5.118), скорость при г -со равна V = c{\-р 2)/г и является
мнимой, нулевой или действительной соответственно при р<1, р = 1, Р>1.
Если р < 1, частица не может достигать бесконечных значений г. В двух
других случаях постоянная р может быть интерпретирована следующим
образом. При г = со пространство-время Шварцшильда вырождается в
пространство-время Минковского специальной теории относительности.
Поскольку в этом случае / у2 \-7"
Р = М J , постоянная р является множителем, используемым в преобразовании
Лоренца от системы координат (t, г, 0, ср) к инерциальной системе, в
которой частица покоится. Система (t, г, б, ср) является инерциальной
системой, в которой частица, имеющая при г = оо скорость, равную нулю,
продолжает оставаться в покое. Таким образом, скорость частицы на
бесконечности ограничена условием V с в противоположность случаю теории
тяготения Ньютона, в которой скорость частицы на бесконечности могла
иметь любое значение. Если частица движется радиально и имеет на
бесконечности скорость V, то из (5.117), (5.118) и (5.119) следует, что
максимально достижимая этой частицей скорость не превосходит скорости qv
численно равной
1 / угч-1/"
?i=4c(1_iH • (5-201)
и эта скорость эдостигается при r - rv где
,. = 4"(l-?)/(1-^1), (5.202)
в то время как при г = а = 2т скорость равна нулю. Ускорение dqjdt
обращается в нуль при г = г1 и г = 2/и; оно
136
Глава V. Пространство-время Шварцшильда
отрицательно при г > гг и положительно при гг > г > 2т. Таким образом
движение частицы в области значений г, определяемой последним
