Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мак-Витти Г.К. -> "Общая теория относительности и космология" -> 42

Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.

Мак-Витти Г.К. Общая теория относительности и космология — М.: Иностранная литература, 1956. — 283 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 85 >> Следующая

неравенством, может быть описано на языке механики Ньютона как
обусловленное отталкиванием со стороны центрального тела. Поскольку
допустимы лишь положительные значения г1,ю максимально достижимое
значение скорости частицы ограничено, в силу (5.202), неравенством V clV
2. Поэтому максимальное значение скорости из (5.201) лежит в пределах
' ^ ^ с
V2 2
причем нижний предел соответствует достижению максимальной скорости при г
= 4т, а верхний - при г = со. Для частиц, скорости которых на
бесконечности заключены в интервале с > | V | > clV 2, значение р велико,
и их скорости непрерывно уменьшаются с приближением к центральному телу.
Таким образом, тяготение не может ускорить частицу до скорости, близкой к
скорости света, но, наоборот, замедляет частицы, которые на бесконечности
движутся с достаточно большими скоростями.
Геодезическая линия, которая представляет движение частицы в плоскости,
проходящей через г = 0 (причем частица описывает некоторую орбиту вокруг
этой точки), может быть найдена при помощи подстановки
¦^¦ = 0. 0 = -?
ds 2
в уравнения геодезической линии. В результате (5.111) выполняется
тождественно; интеграл уравнения (5.112) равен
г2 = fic, где he - постоянная интегрирования, тогда как
(5.114) дает
Поэтому соотношение (5.113) приобретает вид
§ 5.2. Обыкновенные геодезические линии
137
что подстановкой а = -р может быть преобразовано к виду \2 л ч
Э2 - 1 , 2 т
и.
(|r)2+M2(1-2ffia):
А2 т А2
Продифференцировав это уравнение по ср, получаем эквивалентное
дифференциальное уравнение второго порядка, а именно
+ + (5.203)
Общее решение этого уравнения содержит эллиптические функции; если же
m/A2^g> 3/ген2, то можно получить следующее приближенное решение.
Известно, что орбита, дифференциальное уравнение которой имеет вид
-$+" = ¦?• <5-204>
является коническим сечением
А2
ри = 1 в cos (ср - со), jэ = -, (5.205)
где е и со - постоянные интегрирования. Пусть
р'и = 1 -|- е cos х> X -(1-е)(? -ш) (5.206)
- предполагаемое решение уравнения (5.203), где р' - некая новая
постоянная, е< 1, величина т/р' предполагается столь малой, что величиной
e^mjp'2 можно пренебречь, а е - некоторая постоянная, квадратом которой
также можно пренебречь. Подставляя выражение (5.206) в
уравнение (5.203),
при соблюдении упомянутых условий мы имеем
е(1-2е) , 1 , е 1 , 3/и .. , " ,
-- cos хЧ------------уЧ---------г С°§Х - Н -(l+2ecosx).
Р Р Р Р Р
И
1 __ 1 3 т g 3 т
р' р р'2 ' р'
Следовательно, приближенно справедливы равенства
в _ j , Зот, s _ 1^1, (5.207)
Р ^ Р Р
138
Глава V. Пространство-время Шварцшильда
Теперь, если а - большая полуось эллипса (5.205), то р = а(1-е2), и из
(5.207) имеем
3/и
е~ а (1 - е2) '
Но последовательные максимумы и (минимумы г) отделены друг от друга
интервалами -у, равными 2тс, и это соответствует интервалам величины ср -
о>, равным
? - ш = Т~ТГ = 2те О + е)-
Поэтому при одном обороте ср оказывается больше 2тс на величину
Acp = 2rcs = - *(tm)L-pad== a(i!Te2y (2.06265 • Ю5/'. (5.208)
Для применения этих результатов к солнечной системе необходимо прежде
всего отождествить координаты (t, г, Ь, ср) с координатами, применяемыми
астрономами.
Метод измерения расстояний в солнечной системе в принципе состоит в
следующем. Ньютоновская теория тяготения с лежащим в ее основе
предположением о господстве эвклидовой геометрии используется для
построения с помощью третьего закона Кеплера и уравнения (5.204) модели
солнечной системы в относительных единицах. Масштабный множитель
находится при помощи измерения расстояния от Земли до какой-либо планеты,
например до малой планеты Эрос в момент противостояния. Эта часть
процедуры измерения является тригонометрической и требует построения
базисной линии на поверхности Земли. Иногда высказывается мнение, что,
поскольку в процедуру измерений включена длина этой базисной линии, все
расстояния в солнечной системе в конечном счете зависят от жестких
измерительных стержней. Однако, очевидно, это не так, поскольку мерная
лента, с помощью которой производятся топографические измере^я, не
является жесткой. Существенным критерием является не жесткость (или
нежесткость) измерительной аппаратуры, а внутренняя согласованность
топографических съемок поверхности Земли. Во всяком случае, эти операции
ведут к расстояниям в солнечной системе, точность которых оценивается в
^/эооо*
§ 5.2. Обыкновенные геодезические линии
139
То, что найденное таким образом гелиоцентрическое расстояние возможно
отождествить с величиной г пространства-времени Шварцшильда, можно
обосновать так. Если R& - физический радиус Солнца, то метрика (5.121)
применима только при г > /?0. Коэффициент при выражении (й?02 -sin2 0
df2) в формуле (5.121) показывает, что в любой момент времени t разность
радиусов сфер R и R& с центрами, лежащими в Солнце, равна R - /?0.
Изменение г между этими сферами, однако, определяется выражением
отклонение от эвклидовой геометрии представлено членами в правой части
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed