Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
равенства, включающими яг. Однако, даже если R
порядка 1/8 • 106. Поэтому отождествление г с гелиоцентрическими
расстояниями, вычисленными астрономами на основе эвклидовой геометрии,
дает ошибку, не превышающую одной восьмимиллионной, что намного меньше
ошибок в самих расстояниях.
Подобно этому приближенно эвклидовый характер геометрии наводит на мысль,
что ср можно отождествить с углом между направлениями с Солнца на планету
и на точку весеннего равноденствия, а 6- углом, измеряемым от нормали к
плоскости орбиты. Наконец, будем предполагать, что временная координата t
измеряет время, применяемое в астрономических обсерваториях, например
всемирное время. Это чисто эмпирическое определение координат (t, г, б,
ср), предназначенное для анализа конкретной физической ситуации и
возможное только благодаря астрономической практике. Оно иллюстрирует
высказанное в § 4.2 положение относительно апостериорного отождествления
координат и справедливости определений, опирающихся на согласие
наблюдений с такого рода определениями.
Чтобы найти отношение члена яг//г2 к Зяги2 в уравнении (5.203) для планет
солнечной системы, необходимо знать
R
140
Глава V. Пространство-время Шварцшильда
численные значения (3 и h. Средние расстояния до Солнца и средние
орбитальные скорости планет меняются от 58 • 106 км и 48 км/сек для
Меркурия до 45 • 108 км и 5,4 км/сек для Нептуна1). Таким образом, 2m.fr
на орбите планеты порядка 5,1 • 10~8 или еще меньше, тогда как q2/c2 не
превосходит 2,56- 10~8. Поэтому из равенств (5.116) и (5.120) следует,
что постоянная р чуть меньше единицы даже для такой близко расположенной
к Солнцу планеты, как Меркурий. С другой стороны,
где г~^ можно отождествить с орбитальной скоростью планеты. Таким
образом, с высокой степенью точности
Л = 58 • 106(з^5-) = 9,3 • 103 (Меркурий),
h = 45 • 108 (3-^05-) = • Ю4 (Нептун).
Итак, отношение 3mu2 к mjh2 равно 3h2/r2, и его численное значение
изменяется от 7,7 • Ю-8 для Меркурия до 8,3 • 10 10 для Нептуна. Тем
самым приближения, ведущие к фор^ муле (5.208), полностью оправданы, и
можно сделать вывод, что Дер дает величину смещения перигелия планеты за
один оборот. Ньютоновская теория, однако, показывает, что перигелий
планеты смещается из-за возмущений, создаваемых остальными планетами, и
вследствие других причин. Для Меркурия полное угловое смещение [2]
перигелия за 100 земных лет, обусловленное этими эффектами, равно 5557",
18 + 0",85, тогда как наблюдаемое смещение равно 5599",74 + 0",41, т. е.
имеется разность в 42",56 + 0",94. Соответствующие числа для Земли -
6179", 1+2",5 и 6183",7+ 1",1; разность равна 4",6 + 2",7. Эти разности
могут быть объяснены с помощью формулы (5.208), которую можно записать в
виде
( Зтс (2,956) \" ( 57,465 • 107 Г )"
4?к" = (гтп^ру<2-06265) ~г ¦10) =(щ=ггт-} •
') Для Плутона, самой далекой из известных планет солнечной системы, эти
числа равны соответственно 60 • 108 км и 4,7 км/сек. - Прим. ред.
§ 5.3. Нулевая геодезическая линия
141
где 7$ - период обращения Земли, Т- период обращения рассматриваемой
планеты. Результаты для Меркурия, Земли и Марса приведены в табл. 1.
Таблица 1
а, 10° км е т, зв. сутки i!Pioo. (выч.) Д<Рш> (наблюд.)
Меркурий . . Земля .... Марс .... 47,740 149,504 227,798 0,2056 0,0167
0,0934 87,9692 365,256 686,980 43",15 3",84 1",35
42",56±0",94 4",6 ±2",7
Таким образом, отождествление планеты с частицей, описывающей
геодезическую линию в пространстве-времени Шварцшильда, удовлетворительно
объясняет тот эффект в смещении перигелия рассматриваемой планеты,
который ньютоновская теория тяготения оставляла необъясненным. Важность
этого результата часто недооценивается. Известно, что добавление к
ньютоновскому закону тяготения малой силы вида е/r", где ей п
(положительные) постоянные, вызывает вращение перигелия планеты. Однако
постоянные е и п не определяются теорией такого рода; вращение может быть
прямым или обратным, и 'его характер и величина могут быть найдены только
посредством апостериорного обращения к экспериментальным данным. В
противоположность этому теория пространства-времени Шварцшильда ведет к
конкретной формуле для вращения перигелия, показывающей, что эффект
прямой и его величина зависят от массы Солнца и от элементов орбиты а, е,
скомбинированных специальным образом, указанным формулой (5.208).
"
§ 5.3. Нулевая геодезическая линия пространства-времени Шварцшильда
Уравнения нулевой геодезической линии пространства-времени с метрикой
(5.121) вытекают из уравнений (2.807) с заменой s ненулевым параметром
р., и имеют интеграл (2.809).
142
Глава V. Пространство-время Шварцшильда
Эти уравнения имеют вид:
(6-30|)
7={г27)-г'А"''cosi)"1=1 <5-302)
w(r4ln,a-3f)=°- (5'303)
+'г(r)'+г^"Ч|г)'Н0- <5-304)
Если использовать определение (5.115) также и для скорости светового
луча, то уравнение (5.304) дает
д2=с2^_^.у (5.305)
и, следовательно, q - с только на бесконечности. Скорость светового луча
