Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
метрики называется изотропной-, можно показать, что формы (4.415) и
(4.416) следуют одна из другой [4].
Однако г, t и v, |а в этих двух выражениях неидентичны; например, г из
(4.415) является сложной функцией г и t из (4.415) и то же самое имеет
место для t, v, |т. Угловые координаты 0 и ср, однако, не меняются при
переходе от одной формы к другой. Связь координат такова
/ = jc4, г = хх, в - х2, <? - х3. (4.417)
3. Цилиндрическая симметрия [5]. Если осью симметрии является ось z,
пространство-время, обладающее этой симметрией, имеет ортогональную
метрику вида
ds2 [ev {dr2 г2 d№) -ф- el dz2}, (4.418)
где v, u, \ - произвольные функции t, г, z; координаты
связаны зависимостями:
t - x4, г -Xх, 0 = х2, z = x3. (4.419)
Метрики (4.413), (4.416) и (4.418) сводятся в первом приближении к форме
(4.226), если предположить, что метрические тензоры не зависят от f(~x4),
и если сделать следующие подстановки: для (4.413)
х1 - j e-f~hdx, х2 = у, x3 = z
и
e2f = 1 - у.ф (x1), e2h = 1 -у.ф (х1);
для (4.416)
хх = г sin 0 cos ср, х2 = г sin 0 sin ср, x3 = rcos0 и ev М =
1 - хф (г), е* W - 1 -j- у.ф (г);
для (4.418)
xr'^rcos(c), x2 = r sin 0, x3 = z
и
е* (г, *) = 1 _ *ф (Г) г), е"' У. г) =3 г> = 1 + уф (г,
z).
118 Глава IV. Принципы общей теории относительности
§ 4.5. Тяготение и кривизна пространства-времени
Тензор Римана-Кристоффеля пространства-времени(4.226) не равен нулю, как
это легко получить из формулы (4.210). Например, компонента /?414i равна
а все другие не равные нулю компоненты также пропорциональны у. Таким
образом, когда распределение вещества является статическим и метрические
коэффициенты включают в себя только члены первого порядка по */,
пространство-время искривлено, и свободная пробная частица подвержена
чисто гравитационному ускорению, как это было указано в § 4.3,. Когда,
как это было на первых порах развития общей теории относительности,
внимание сосредоточено на статическом , пространстве-времени, естественно
заключить, что кривизна пространства-времени (т. е. наличие в тензоре
Римана-Кристоффеля отличных от нуля компонент) связана с присутствием
поля тяготения. Отсюда до утверждения, что тяготение является свойством
самого пространства-времени, а не свойством распределения вещества,
описываемого этим пространством-временем, лишь один маленький шаг. Однако
такое утверждение подразумевало бы, что любое искривленное пространство-
время должно с необходимостью соответствовать некоторому полю тяготения
независимо от того, может ли быть реально указано распределение вещества,
соответствующее этому полю. Мы покажем, что на нынешнем этапе развития
теории точка зрения уже непригодна.
Рассмотрим пространство-время, метрика которого имеет
вид
1 б2^44 _ у д2ф
J'(dx')2 ~ ~2 (дх1)2'
ds2 - dt2 - --^------(dx2-\-df-\-dz2), (4.501)
где Л-космологическая постоянная. Это пространство-время не является
статическим, так как его метрические коэффициенты являются функциями
временнбй коор-
§ 4.5. Тяготение и кривизна пространства-времени 119
динаты t. В обозначениях (4.401) эти метрические коэффициенты имеют вид
D = 1, А - В = С - с2 , (4.502)
где
t - х4, х = хг, у - х2, z - x3. (4.503)
Используя формулу Дингля (4.402) для символов Кристоффеля совместно с
формулой (2.501) для тензора Римана -
Кристоффеля, находим, что, например, компонента /?441 равна
^441 = -у •
Следовательно, одна компонента тензора Римана - Кристоффеля в этой
частной системе координат отлична от нуля; тензор не является нулевым,
так что пространство-время (4.501) искривлено. С другой стороны,
уравнения Эйнштейна (4.407) - (4.412) показывают, что компоненты тензора
энергии, для которых
[av = 12, 13, 23, 14, 24, 34,
тождественно равны нулю, поскольку А, В, С, D являются функциями только
от одной координаты. Уравнение (4.406) принимает вид
8тс07''м =_______- ^ СА4В4 4- ВА^С^ -(- АВ4С4 ^ ^
+ А = -|(1а)+А = 0. (4.504)
тогда как уравнения (4.403) - (4.405) дают
8"0^-3-7" =-" ' " ~\е ' " ) +
dt2
In r 3 c)\ f -(-A =
--g-A-j--g-Л^ -Л = 0, (/=1, 2, 3).
(4.505)
120 Глава IV. Принципы общей теории относительн0сти
Таким образом, все компоненты тензора энергии тождественно равны нулю во
всех точках-событиях (t, х, у, Z) пространства-времени (4.501). Кроме
того, не имеется сингулярных точек-событий, в которых тензор 7'p'v можно
было бы рассматривать как неопределенный из-за бесконечностей или каких-
либо других особенностей в правых частях уравнений (4.403) -(4.412).
Таким образом, данное пространство-время вообще не представляет какого-
либо распределения вещества, и не существует поля тяготения, которое бы
соответствовало его кривизне.
Описанный пример известен с 1917 г., и равенство (4.501) представляет
собой одну из форм метрики вселенной де Сит-тера, которая будет
рассмотрена в § 9.7. 1$ыло высказано предположение, что это пространство-
время могло бы представлять предельное распределение вещества, тензор
энергии которого некогда был отличен от нуля и стремится к нулю с
