Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
уменьшается при приближении к центральному телу. Движение в некоторой
плоскости может быть также получено посредством подстановки
= 6 = |-
и в этом случае интегралы уравнений (5.301) и (5.303) соответственно
имеют вид
dt й, / 2m X-1 r2d9_ha"r
где р* и Н$*с- постоянные интегрирования. Уравнение (5.304) при
подстановке и=1/г превращается в
+ h2u2 = 1 + 2шН2и3, (5.306)
что определяет траекторию светового луча в плоскости г, ср. Предположим
временно, что 2mh2u3 мало по сравнению с единицей. Тогда мы можем
получить приближенное решение уравнения (5.306) в виде
Ни - cos р sin ср - sin р cos ср -]-/ (ср),
где р - некоторый постоянный угол, / - функция, подлежащая определению, а
квадратом и более высокими степе-
§ 5.3. Нулевая геодезическая линия
143
нями m/h можно пренебречь. Нам будет удобно считать р малым углом и
положить
m cos В m т . D Л
-JTL = T' TslnP = 0-
Тогда, подставляя написанное выше выражение для ha
в (5.306), получаем уравнение для /
cos ср -1- f sin ср = sin3 ср,
и интересующее нас частное решение этого уравнения имеет вид / = sin2 ср
-4- 2 cos2 ср.
Так как н = -^-, путь светового луча имеет, таким образом, вид
h ТП
- = cos р sin ср - sin р cos ср -(- (sin2 ср -2 cos2 ср).
Вводя прямоугольные координаты с началом в центре С центрального тела,
как показано на рис. 2, имеем
х - г cos ср, y = r sin ср, и поэтому путь луча света есть
A = ycosp - х sin р -I- - 2-. (5.307)
r v ' h Yх2 + У2
Эта формула может быть использована для интерпретации явления отклонения
световых лучей, наблюдаемого при полных затмениях Солнца. На рис. 2 С -
центр Солнца, 5 - некоторая звезда, расположенная в точке (X, У) и наблю-
144
Глава V. Пространство-время Шварцшильда
даемая вблизи солнечного лимба во время полного затмения наблюдателем О,
находящимся в точке (-а, 0), где а-среднее значение радиуса земной
орбиты. Спустя шесть месяцев наблюдатель находится в точке О'{а, 0).
Радиус Солнца /?0 и координата К звезды много меньше, чем а и А', а само
а пренебрежимо мало по сравнению с X. Так как путь луча CMS проходит
через точку (- а, 0), мы имеем
А = a sin р а, (5.308)
откуда видно, что А порядка a sin р и также пренебрежимо мало по
сравнению с X. Но CMS проходит также через точку (X, К), что приближенно
дает
А = К cos р - X sin р -(- X,
или, пренебрегая членом hjX,
Y д 2m 1
Х~ Л cosp-
Соответствующие соотношения для постоянных А', Р' светового пути O'A'S и
уравнение для YjX имеют аналогичный вид
А' = - asinp' + ^-a, (5.309)
X ё Р h' cos р'
Так как р, Р' - малые углы, два значения YjX дают
Р -Р' = -1Г-7F- (5-310>
Вблизи поверхности Солнца х и у в равенстве (5.307) по крайней мере
порядка /?0> и световые лучи являются приближенно прямыми линиями
А - у cos р - х sin р,
А' = у cos Р' - х sin р'.
Так как Xj^>a, эти линии будут лежать симметрично по обе стороны от точки
С, и их расстояния по нормалям до точки С будут одинаковыми. Пусть nRQ -
величина любого из этих расстояний, где п - число, лежащее, скажем, между
1 и 10.
§ 5.3. Нулевая геодезическая линия
145
Тогда, используя равенства (5.308) и (5.309), приближенно имеем
"/?(c) = a sin р = h, nR0 - a sin р' = - h',
что случайно удовлетворяет приближениям, которые были сделаны при решении
уравнения (5.306), так как член 2тН2иг теперь меньше или равен
2/га/ге/?(c), что уже мало по сравнению с единицей. Написав Др - р - Р' в
(5.310), мы получаем
4тга
или в дуговых секундах
dm 1 " 7^)1
др = -^(2,06265 • 105)" = (5.311)
Последнее соотношение дает угловое смещение звезды во время солнечного
затмения по сравнению с положением этой звезды при отсутствии затмения.
На практике звезды, сфотографированные во время затмения, не находятся на
тех местах пластинки, которые соответствовали бы лучам света,
"касающимся" поверхности Солнца ("-1); не может быть также точно
определено их смещение относительно математической линии ОС О'. Угловые
расстояния звезд друг относительно друга на пластинке, снятой во время
затмения, должны быть сопоставлены с их расстояниями на пластинке
сравнения, снятой несколько месяцев спустя; отсюда выводится значение
"Др. При сопоставлении этих двух пластинок трудно различить эффект
влияния Солнца на положение звезд и эффект, вызванный изменением масштаба
пластинки. Изменение масштаба, если оно имеет место, учесть чрезвычайно
трудно; действительно, до затмения 1947 г. не было предусмотрено никакого
приспособления для обнаружения подобных изменений масштаба. Во время'
затмения контрольное звездное поле, расположен^ ное под углом 90° к
Солнцу, проектируется на пластинку, снимающую затмившееся Солнце; оно
фотографируется одновременно со звездным полем, расположенным вблизи
Солнца. Это же самое контрольное звездное поле снимается таким же
10 Г. Мак-Витти
146
Глава V. Пространство-время Шварцшильда
образом на пластинке сравнения, что позволяет определить изменение
масштаба.
Различные значения п Др, найденные из наблюдений [3], приведены в табл. 2
