Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
течением времени. Следует отметить, что автору неизвестно доказательство
этого предположения. С Д5эугой стороны, вывод о равенстве нулю тензора
энергии существенно зависел от наличия космологической постоянной в
уравнениях Эйнштейна; последняя, как будет показано в § 6.5, определяет
гравитационный эффект, эквивалентной гравитационному эффекту некоего
распределения вещеСТва. В самом деле, если в формуле (4.501) Л = 0, то
Метрика превращается в метрику пространства-времени Миговского, кривизна
которого равна нулю. Эта интерпретация могла бы показаться
удовлетворительной, однако одиц пример, обнаруженный Таубом [3] в 1951
г., показывает ее несостоятельность. Пространство-время в примере Тауба
не является ни статическим, ни ортогональным, и его метрика имеет вид
ds2 - е(-а'+^(сЪ. a dt2 - j е^ ch и dx2 -+=¦
+ ЙП7 ~ 2$х ^7dydz + ^ ch ") dz2} >
(4.506)
где
a = pc(*-H0),
и aj, a2, (3, t0 - постоянные, первые три из которых удовлетворяют
соотношению
р2с2 = aiCl2-
§ 4.5. Тяготение и кривизна пространства-времени 121
Вычисляя следующие две компоненты тензора Римана - Кристоффеля и
используя непосредственно определение (2.501), получаем
R *41 = W { 41 } " i { 44 } + { 4"1 } { т4 } - { 44 | { U } =
= "W { 41 } + { 41 } { 41 } - { i } { 14 } =
= Y р2с2 (1 - th2 а) ~ (а2 -ф- §с th и),
к"=-4Ц}+{"}Ц}-ШЦ}=
= -i-p2c2( 1 -2th2")-а' ~]j~ - f?c th u.
Таким образом, для произвольного значения t обе компоненты тензора Римана
- Кристоффеля отличны от нуля, и ни при каком значении t обе компоненты
тензора не равны нулю одновременно. Ввиду этого пространство-время
(4.506) искривлено в любой момент времени. Все компоненты тензора Риччи,
подсчитанные с помощью формулы (2.507), оказываются тождественно равными
нулю, несмотря на то, что тензор Римана - Кристоффеля отличен от нуля.
Следовательно, если предположить-, что космологическая постоянная в
уравнениях Эйнштейна (4.108) равна нулю, то тензор энергии распределения
вещества, представленного метрикой (4.506), тождественно равен нулю.
Таким образом особые точки-события отсутствуют, и распределение вещества,
поле тяготения которого соответствовало бы кривизне пространства-времени,
на самом деле не существует.
Эти два примера показывают, что независимо от того, включена или не
включена в уравнения Эйнштейна космологическая постоянная, невозможно
утверждать, что причиной тяготения является кривизна пространства-
времени. Можно лишь утверждать, что если пространство-время должно
представлять гравитационные и механические свойства распределения
вещества, то тензор Риччи должен быть отличен от нуля; это в свою очередь
означает, что тензор Римана-Кристоффеля не может быть нулевым тензором и,
следовательно,
122 Глава IV. Принципы общей теории относительности
пространство-время должно быть искривленным. Обратное утверждение,
однако, неверно. Произвольное искривленное пространство-время не
обязательно представляет распределение вещества: некоторым из этих
пространств могут соответствовать нулевые тензоры энергии, тогда как
другие могут представлять распределение вещества, тензоры энергии которых
хотя и ненулевые, но недопустимы с физической точки зрения.
Важно также отметить, что два примера, рассмотренные в этом параграфе, не
подразумевали, что тензор энергии имеет форму (4.104), соответствующую
идеальной жидкости. Какова бы ни была природа вещества, пространствам
(4.501) и (4.506) соответствуют нулевые тензоры энергии, и этот результат
не теряет силы и в том случае, если вещество не является идеальной
жидкостью.
§ 4. 6. Ускоренные координатные системы
В § 4.3 было установлено, что риманова система координат, построенная
вблизи некоторой точки-события пространства-времени (4.102), свободно
падает в поле тяготения с распределением вещества, описываемым этим
пространством-временем (предполагается, конечно, что последнее не
является пространством-временем такого исключительного типа, как
рассмотренное в § 4.5). Поучительно исследовать этот вопрос несколько
глубже, рассматривая снова пространство-время (4.226). Пусть начало
римановых координат находится в точке-событии О, координаты которой (xj*,
х*,
х2, Обращая опять ряды (2.609), получаем следующие
выражения для римановых координат некоторого события Р, расположенного
вблизи О:
(6=1, 2, 3, 4),
где в правых частях равенств опущены члены, включающие тройные и более
высокого порядка произведения разностей
§ 4.6. Ускоренные координатные системы
123
xQ-jcjj. Дифференцируя один раз по переменной s и используя соотношение
(2.608), имеем
ds \fw fo ds \ о) т- ^
(о=1. 2, 3, 4),
где левые части равенств являются постоянными. Второе дифференцирование
по 5 дает
_ d2x° , ( а 1 dxv- dx> 1 о q л\
+ }0"dT"dr+-- - (c = 1>2, 3, 4),
где в правых частях равенств опущены члены, содержащие множители - jcJ).
Таким образом, в самой точке-событии О эти равенства сводятся к
(тг?)"= -{А}" ("=Ь 2, 3,4). (4.602)
4-вектор скорости пространственной точки х%, л:(r)) в момент времени х*
