Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
напряжения. В нелинейной теории эта процедура требует обращения уравнения
состояния материала; о практической неосуществимости такой операции в
общем случае (для любого материала) говорилось в § 14 и II, § 8. Но ход
вывода принципа стационарности дополнительной работы требует
предположения, что обращение осуществлено; принимается, что соотношение
Р - з0 =Р (vr) (1)
VR
О
разрешено относительно VR
VR = VR (Р), 3(vr)=5(P). (2)
142 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. *
Производящая функция преобразования Лежандра обратного (1), как известно,
определяется выражением
ex(P) = P--YRT(P)-s(vR(P)). (3)
Действительно, по (1)
0 0 Лз 0
6эх(Р) = 6Р--VRr(P) + P- -6VR(P)-------2L. • 6VRT =
dyR
= бР- • VRT (P) = VR (P) • • 6PT, (4)
так что no определению производной скаляра по тензорному аргументу
VR(P) = (9x)p, (5)
что и требуется; эх (Р) называется удельной дополнительной работой. Это
соотношение -аналог теоремы Кастильяно линейной теории упругости.
Далее рассматривается статически возможное напряженное состояние; в нем
тензор Пиола Р удовлетворяет уравнениям статики в объеме к и на той части
поверхности olt на которой задано мертвое поверхностное нагружение
о
в V. V-P-fp0k = 0; на ох: n-P = f°. (6)
Для статически возможных состояний, сравниваемых с реализуемым состоянием
равновесия, выполнены условия
о
в v\ V(P-f6P)-f p0k = 0; на ох: n-(P + 6P) = f°,
так как массовые и поверхностные силы на ох остаются неизменными. Итак,
в V. V - бР = 0; на п-бР = 0. (7)
Рассматривается функционал W2 над статически возможными тензорами Р,
называемый дополнительной работой
Г2= JJJsx (P)dv - R-f°do (8)
V 02
- здесь f° следует трактовать как реакции приспособлений, обеспечивающих
выполнение требуемого на о2 задания вектора места R.
j СТАЦИОНАРНОСТЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 143
Теперь, сославшись на определение (4) и учитывая, что на вектор R не
варьируется, имеем по (1)
6 y,=SS^Rt"6p'MSR'6f"'fc =
V °s
= Ш [v-(6P-R) - (v-бр)-r] dll - J J R-6f(r)do =
V L o2
[v.6p).Rdt) + JJn-6P.R do "f- S5 (n-6P-6fe).Rdo. ф)
Но на o2
П-6Р-6Г (10)
и, сославшись на (7), приходим к принципу стационарности дополнительной
работы
6Г2 = 0, 1^2 = Ш [p--NVRT-3(vR(P))]do-55 n PRdo (11)
V 02
- функционал W2 сохраняет стационарное значение на всех статически
возможных (удовлетворяющих условиям (6)) заданиях тензора Пиола.
Известно, что ротор градиента вектора - нулевой тензор. Поэтому, из
соотношения (5) имеем
V X VR = V х (эх)р = 0. (12)
Это-аналог уравнения совместности напряжений линейной теории-уравнений
Бельтрами -Мичелла. Известно, что принцип минимума дополнительной работы
в этой теории выделяет из множества статически возможных напряженных
состояний реализуемое состояние, допускающее определение вектора
перемещения. Естественно ожидать, что принципу стационарности
дополнительной работы в нелинейной теории отводится та же роль*).
Чтобы убедиться в этом, составим уравнение Эйлера для связанной задачи
вариационного исчисления о стационарности Функционала (11) при наличии
связей (7).
*) Заранее нет оснований считать, что функция vR (Р) аргумента Р,
фигурирующая в формулах (2) - (5), является градиентом, т. е.
удовлетворяет усло-
в(r)) 02). Символ VR(P) в этих формулах следует рассматривать просто как
обозначение тензорной функции аргумента Р. Если, однако, придать этому
имволу смысл градиента, как это сделано в (9), то получается принцип
допол-"р!ельн°й работы в форме (11). Доказательство того, что указанный
символ йствительно можно считать градиентом, следует ниже.
144
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
Введя в рассмотрение лагранжев множитель (вектор) X, имеем 6Г3 = 555 VRr-
-SPdu-JJ R-6f0do + 5J5 b-V-6Pdw = 0.
V 02 V
Повторяя знакомое преобразование (II 1.3.10), имеем $$$ A,-V.6Pdt> [у
¦ (бР - >") - (v>.) Г - • бр] dv =
V V
= ^ >.п • 6Р do + X- n- 6Р do - J \ДТ- • 6Р dv =
= SSi-,..ep*-SHw-.sp*.
02 v
так как по (7) интеграл по о, отпадает. Сославшись на (10), получаем
бП7а = 555 (vr-г - пт)'-&Pdv + 55 (^ - R) • п • Pdo --- 0. (13)
V 02
Можно считать за счет выбора трех компонент X независимыми все девять
компонент SP, связанных тремя условиями (7) в объеме v. Приходим к
требуемым результатам
в v: VR--=VA.; на 0{. A.^R. ' (14)
о
Доказано, что тензор VR, определяемый по (5), представляет градиент
вектора - соотношение (5) интегрируемо
о Р.?.. дэу Psv
VR -- г % = -^ , Rs - rs • ^ , R - j dr • + R И0) (1 a)
aSo
- интегрирование проводится по любой кривой, соединяющей cJl(q\ q\ q3) с
od0{ql, ql ql).
Предположение об обратимости соотношения (1), на котором основывался
вывод принципа стационарности дополнительной работы, вызвало сомнения в
публикациях, последовавших за работой Л. М. Зубова. Койтер (W. Т. Koiter)
в двух статьях (1973, 1975), посвященных принципу Зубова, указал на
приемлемость предположения об обратимости, однако неоднозначной. Л. М.
Зубов, основываясь на полярном разложении тензора Пиола, доказал, что
представление (2) меры деформации через тензор Пиола имеет, вообще
