Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
приближенному решению задач нелинейной теории упругости.
Исходным пунктом вывода принципа стационарности потенциальной энергии
системы служит соотношение
выражающее равенство вариации удельной потенциальной энергии деформации
элементарной работе внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном
перемещении SR частиц тела из состояния равновесия в актуальной
конфигурации.
Запись в интегральной форме имеет вид
системы
Ьэ=Ь'а{е),
(1)
555 6з dv - 5 5 5 pk • SR dK - 5 5 f • SR dO = 0.
(2)
V
V
О
; 16]
СТАЦИОНАРНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
139
кассовые силы не варьируются, они те же в рассматриваемом состоянии
равновесия, что н в сравниваемых с ним состояниях. Поэтому
f pk-6R dV = J J J р0к- 8R dv = б J ^ р0к- Rdv = б J ^ рк- R dV.
V V V V
(3)
Знак вариации был вынесен за знак интеграла, так как отсчет-ная
конфигурация, конечно, также неизменна при варьировании.
Принимается, что о2 = о - о1 - та часть поверхности тела в отсчетной
конфигурации, на которой задается вектор перемещения и, на части ох
задано "мертвое" поверхностное нагружение f°. Тогда по сказанному
на о2: 8R = 0; на ог\ 8f° = 0. (4)
Итак,
J$f.6RdO = $$f-6RdO+$$f-6RdO=S$f0-6Rdo=--
О 2
= б SS f°-Rdo
Ot
(5)
и соотношение (2) приводится к виду
SИ (э ~ Pok' R) ^ f0 • R do
= 0
(6)
или после перехода к интегрированиям в актуальной конфигурации
fa - pk-R dV
е do
О,
: о,
(7)
причем следует заменить его значением (1.8.7). Величина в квадратных
скобках
-pk-R )dV
•ft f If-МО. (8)
О,
называемая потенциальной энергией системы ("тело + внешние силы")
представляет функционал над вектором места R частицы в актуальной
конфигурации. Соотношение (6) (или 7) выражает теорему (принцип)
стационарности этого функционала: из всех допустимых полей векторов места
(иначе говоря, принимающих на 02 наперед заданное значение) в состоянии
равновесия
140
ПОСТАНОВКИ ЗЛДЛЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
осуществляется поле того вектора, в котором функционал Wt сохраняет
стационарное значение (6Ц+--0).
Напомним, что стационарным называется значение функционала, приобретающее
при сообщении вектору места R вариации 6R приращение ДWt более высокого
порядка малости, чем | 6R |. В линейной теории доказывается, что Л11+ > 0
(при э > 0), т. е. что стационарное значение функционала является его
минимумом. В нелинейной теории для такого утверждения нет основания.
Дифференциальные уравнения и натуральные краевые условия вариационной
задачи о стационарности. функционала W-, представляют уравнения
равновесия в объеме и на поверхности одного из видов, представленных в §
10.
Действительно, вспомнив (4.1.3), (2.6.2), (II.2.7), (1.3.10) и
(III.3.10), имеем
5 55 8adv -= ^ 5 \ э0 ¦ ¦ SVR1 dv - \ J J-P- • V6Rт dv -
v v VR v
= ffj у 1 VrT-T- -V8R+y = T • ¦ VSRT- Vr'dV -
° 'v V V
= \J5t- • V6RTrfl/=555[V-(T.6R)-(V.T).6R]dl/ =
" V V
= N-T-6RdO-JJS 8R-(\-T)dV (9)
О V
и это позволяет представить (2) в виде
- J55 (V.T + pk)-6Rd7+5S (N-т-f)-6RdO +
v о,
+ 55 (N-T-f)-6RdO = 0. (10)
о2
Согласно лемме вариационного исчисления, вследствие произвольности SR в
объеме V, отсюда следует
V.T + pk = 0. (11)
Поверхностный интеграл по 02 отпадает, так как на О, вектор R задан, SR =
0. На Ог вектор 8R произволен и поэтому
N*T = f°. (12)
Заметим, что в этих преобразованиях только для сокращения записи и чтобы
не повторять ранее проделанного в § 10 применены обозначения Р или Т.
Удельная потенциальная энергии задана через меры деформации и, приняв
принцип стационарности потенциальной энергии системы, как исходное
предпо-
СТАЦИОНАРНОСТЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
141
ложение механики упругого тела, можно вообще не упоминать о напряженном
состоянии, "не знать о его существовании".
Если массовые силы имеют потенциал, а поверхностные силы -"мертвые", то
функционалу IE, придается вид
(э + p0Jt) do - (13)
V 01
так как k-6R = - Vjt-6R =- 6л по (1.1.7) и по определению (III.2.1)
градиента скаляра.
Если еще в число внешних сил, распределенных по всей поверхности гтела,
включено и равномерное давление на ней р, то по (2.1.13)
^=Щ(э + р"я + р]/ l^-JjV.Rdb. (14)
V ох
§ 17. Принцип стационарности дополнительной работы
Этот принцип противопоставляется принципу стационарности потенциальной
энергии системы. Здесь речь идет об отборе из множества гстатически
возможных напряженных соостояний состояния,1гфактически реализуемого в
упругом теле, тогда как принцип стационарности потенциальной энергии не
содержит упоминаний о напряжениях, а выражает свойство истинного поля
перемещений.
Функционал, стационарность которого рассматривается, должен быть выражен
через тензор напряжений или его инварианты, если среда изотропна;
геометрические величины не должны в него входить. В линейной теории
упругости это не сопряжено с трудностями, так как выражение линейного
тензора деформации через тензор напряжений Т известно и это позволяет
сразу же получить представление удельной потенциальной энергии через
