Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Колемана-Нолла (5.9.4).
При S == 0, Q = Q критерий выпуклости (1) приводит согласно (3) и
(1.11.4) к неравенству
Т -Й2 = Л(Т- Й2) = ю-Т-ю-/ДТ) oo-to <0. (4)
Приняв, что to - единичный вектор ej одного из главных направлений
тензора напряжений, имеем
Oi - (Oj +о2 + о3Х0, o2-fo3>0
- пришли к уже известным неравенствам из гл. 5, § 9.
Проводимое далее преобразование имеет целью исключить из представления
(3) кососимметричный тензор й. Имеем
Т Q QT = Т - ¦ (S-j- й) • (S- й) = Т- • S2 -T -S fl + T- fl S -
-Т• й2 = Т -S2-Т- -(Й2 -2&-S). Возвратившись к (3), получаем
¦ о
^HVR^E + riQ)
п = 0
|/|(Т- Q*QT-Т- S2)
д-
+
Л
dvf
VR- (Е + t]S)
т) = 0
(5)
Это равенство позволяет дать еще одно представление удельного значения
второй вариации удельной потенциальной энергии Ф. Действительно, приняв
Q - Vw, S = е
и вспоминая (2.8), имеем
^HVR.(E
2Ф
r)Vw)
У-(т- -Vw- VwT -Т• • 8:
Vwr VR1
Л
dr\2
VwT- VR
э \ VR • (E + йе)
о о ' VR VR
0
1 = 0
(6)
>22]
ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА
383
Выражению удвоенной второй вариации, удельной потенциальной энергии
теперь придается вид
2r2=J J $Ф^=5 J Jt-.Vw-VwМУ -J $$T.-eW +
причем согласно критерию монотонности
S S S ^a(vR.(E + iie))^>0.
tj = О
(7)
(8)
Определение выпуклости по градиенту при замене в нем Q диадой векторов ab
принимает вид неравенства Адамара (J. На-damard, 1903)
А (а, Ь):
d2 dr\2
( 0
у а (ч VR • (Е + riab)
т)=0
0.
(9)
В другой записи, имея в виду представление
а VR- (Е + цаЬ) У = а У VR; -f г]э0 • -ba. VRT +
VR
1 с 0 + Y ifba-VRT--э0 0 -.baVRr,
vr vr
этому неравенству придается вид
о о
ba-VRT- а0 0 • baVR1 VRVR
0.
(10)
По (4.11.5) оно оказывается связанным с определением эллиптичности
системы уравнений равновесия и сильной эллиптичности ее, когда
неравенство (9) строго выполняется.
В компонентном представлении
д'1э
7 о о VRVR
v*i-о--
dv sVjdy pXq
AstP4 YsrtrpYq,
(11)
и неравенство Адамара записывается в виде
Л (а, Ь) =AstPqasb\apbl^ 0 (a^a-R*, 5?=Ь-гг). (12)
По (4.9.12)
PVrT-r,PrR' + ]/ |-Vr-.T/,..(Cn + CI1I).-VRT-Cn,
(13)
0 о = *о : ?RVr vr
384 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ.
причем, повторив .вычисление в гл. 4, § 10, можно убедиться, что
слагаемые PVrT, rJPTR's в этом выражении взаимно уничтожаются. Получаем
Л (a, b) = У у ba-VRT - • VrT-TF • • (Сп + СШ) • • VRT-Cn - • ba-VRT=--=
]/ у ba - -TF • • (C" + СШ)- • VRT - • VR-ab =
= У |b-[a-(TF+TF--CII)-F-a]-b= У |b-Q-b. (I4i
Здесь no (4.11.13) в рассмотрение введен акустический тензор Q = a - (TF
+ TF- -Сц)¦ F - а, (15)
и критерием эллиптичности материала оказывается выполнение неравенства
Адамара (10) или (12), а сильной эллиптичности - усиленного неравенства
Л (а, Ь)>0. - (16)
В сильно эллиптическом материале все собственные значения акустического
тензора положительны при любом выборе &ф0.
Если f (х)- выпуклая функция для всех х > 0 и материал с удельной
потенциальной энергией э сильно эллиптичен, то таковым же будет материал
с удельной потенциальной энергией /(э). Действительно, при обозначении
Ф (л) = э (VR + ti^R • ab), Е(т]) = /( ф(т]))
имеем
(л). F" (л)--=^-[ф' 0l)]s + ^V0l).
так что
d?f ' 0
[Е"(л)]ч=о=-^г(*о • • ba-VR1
VR
+ ?fba-VRT--50 0 --ba-VR^>0, (17)
Т V VRVR /
так как по определению выпуклой функции /ф >0, fф > 0.
Приводимый в заключение пример*) иллюстрирует, насколько неравенство
Адамара менее ограничительно по сравнению с критериями выпуклости вида
(1). Рассматривается материал с удельной потенциальной энергией
деформации (5.6.17)
+ (18)
1
сильно эллиптический при любых деформациях.
*) Сообщил автору Е. Л. Гурвич.
>22]
ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА
385
По (1.9.1), (1.9.12) имеем здесь
э0 =p(vR-/3-"VfrJ,
VR
эо о =!A/3""(/3aCIt + 2aVrTVrT + rmRV(Rm),
VRVR
И по определению (1) выпуклости требуется рассмотреть нера-.венство
о
• VRT
dxf
R + tiVR-Q
= Р/;
Ti=О
VRT-Q1
7 о о VRVR
•Q1
[/"Qг• VRT¦ • VR Q + 2aQT- EE- QT +
+ QT-RmRfQT R(Rm] =
= p/3-" [IVi (F -Q • QT) + 2aI2 (Q) + I1 (Q2)] > 0.
Задача сведена к определению знака квадратичной формы девяти переменных
8 (Q) = /,"/1 (F • Q • QT) + 2a/2 (Q) +1, (Q2),
представимой в собственном базисе меры Фингера суммой квадратичных форм
8 (Q)= 81 (^и> Цгч.1 Узз) 82(^23' Узз) 8з (у31, q13) + <?4 (^i2> q^i)-
При обозначениях ^ = (и?+1и"и")2, к2 = (vfvfnvf)2, A3 = (i?t>"t>"+1)2
матрицы коэффициентов этих форм записываются в виде
и т. д. Матрица формы <§ (Q) оказывается диагональной матрицей матриц
' ' 8и II о о о
0 II82 2II 0 о
0 0 || (§зз || 0
0 0 0 II <^44 [
Если ограничиться значением a = A/2p^sO, что составляет 0^v^0,5, то будет
положительной ("сильвестровой") матрицей, матрицы || 82 Ц, |[<?31|,
!|<?4|| положительны при условиях
КК > 0, AgAj > 0, AjA2 > 0, приводимых к неравенству
(19)
М + 2а-Н 2а 2а 1 I |
2а А2 -j- 2а-р 1 2а > 1 8 2 || ^2 * 1 1
2а 2а Аз + 2а-р 1 1 A31
/3 > V.
-(СС+1)
= min (vu v2, v3),
тогда как условие сильной эллиптичности не налагает никаких ограничений
