Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 107

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 158 >> Следующая

Г = 0 Л' = 0
Квадратичная форма 0-Vwr, положительность которой гарантирует безопасное
нагружение, приобретает вид
0- •VwT=TVw- • VwT-2 Уf[ ФЛ (е2)+Ф(211^(ег8-е,)2
+
+ 2 У ? 2 2 W1(v^-e)/1(vr-e). (12)
N=0Г=0
374 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
Первое слагаемое оценивается формулой (15.4) и применение критерия
(15.11) приводит к неравенству
Н /
Д (в2) dV > 2 ¦/-§- U; f j J Д И dv +
s k I/
(13)
Введя здесь, вместо (15.4), обозначение v для максимального из трех
главных значений тензора V, имеем
VfVb ^ 1 , . 4^-1-
vs + vk 4 v s ^ 2
з э (Ш
L L (efc • 8 • es)2< I о Д (е2)
S=1 6=1 5 ' п
и, усиливая неравенство (13), получаем
(/С+1)(а -ст3)< ]/"-|-(|ф( |ц -фо)- (15)
Для полулинейного материала по (10) эта оценка приводится к виду
(К + 1)(о-о3)< У-§-й|ЦД-3)-2р| (16)
и, конечно, сохраняется задача проверки знака квадратичной формы
с (81, е2, е3) = 2 У -Д [>;lД!(V•e) + +;2/jДF•8)-f
+2%/1(V¦8)/1(F.8)] (17)
(так как йоГ = 0, Г -0, 1, 2).
Для стержня, сжимаемого продольной силой, в обозначениях гл. 8, § 13
имеем
ф( = А(2б! -6) -2р, |ф(| = 2р(1 + v6),
= (1+v6)2(l -6), y=l-t-v6
и безопасное нагружение представляется выражением
Q _. __ " о 2p(l-|-v6)2So / | 0\
Ч азЪ (Д-Д!) • (1°)
§ 18. Несжимаемое упругое тело
В несжимаемом упругом теле удельная потенциальная энергия-функция
инвариантов Д, /2
э=э(Д, /2) (1)
$18] НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО 375
и формулами (2.3) задаются "определяемые величины" (обозначаемые индексом
Е).
Представление потенциальной энергии записывается в виде
r?(R + T]w)-r?(R) = iir]?+^2^2E. (2)
Здесь
fo.wdO, (3)
V V о,
= НУ 'Fe dV - 1 Щ 0?. • VwT dV (4)
я по (2.11)
i ТЕ- • Vw • Vwг + 2 [ф2/х ((F • е)2) + du/J (F • в) +
+ "(F2-e) + 2{l12/1(F.e)/1(F2.8)]. (5)
Здесь ТЕ - определяемое напряжение
T? = 2(^1F + i)32F2), (6)
а фг и йлт (N, Г=1, 2) задаются формулами (4.3.5), (4.5.5). Тензор 0Е,
определяемый по (2.10), линейно выражается через Vw
ef = 0F*')v'w:=T?-'Vw + 4 {%F-e-F-+ ^ц/i (F-e) F +
+ 8"/x (F2• e) F2 + fl12 [/x (F2 • 8) F + A (F • e) F2]}. (7)
Уравнение связи
Г /., (R ||WI - KTTlR) = 0
при учете квадратичных по г| слагаемых по (1.12.5) представ-
ляется формулой
Т)7! (е) +у T]2[/i(e) -VwT- • VwT] = 0 (8)
и после умножения на р-\-1/гцр' и интегрирования по объему, преобразуется
к виду
w dV + у г)2 УЦ (p'V-w - pVwT- ¦VwT)dV =
Г V
= rlf НН Р N'wdO - JJJw'^7'^N) + Yt12 j'Jp'N-wdO
\ о г / [о
- JJj* (w-Vp' -f-pVwT- • VwT)dO
v
Слагаемое
pJ\ (p)dV = $ V-(pwV- w)dV - $ И W,V (pV- w)dV =
v ' v V
= pN ¦ wV -wdO - j j j w • V (p-Vw)dV
о
0. (9)
376 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
не включено в (9), так как V-w = 0 с точностью до членов порядка г)2 -
оно не внесло бы вклада ни в уравнение статики, ни в краевые условия.
Вычитая (9) из (3), (4), приходим к представлениям
V
~ ' VwT - р\ ¦ w - p0k- w)dV- 55*"' w dO -
У о,
= j) J J (T?- • VwT+w-V^i -p0k-w)dK-(f° + pN)-wdO, (10)
У 0,
2W 2 = 2W 1E-\\] (p'V-w + p0VwT - -VwT)dI/ =
v
= S § § t- p'V-w + (0? + /?VwT)- • VwT]dK. (11)
v
В соответствии с принципом стационарности потенциальной энергии ид = 0.
Это непосредственно следует и из преобразования выражения (10)
ВД v-VwMK= $5$ [V.(Vw)-(V.T?). w]dl/ =
У г
= 55 N-VwdO-JSJ (V-T+l-wdl/
O, У
и в соответствии с уравнениями равновесия (7.2.11) в ^-конфигурации
W1 = -№(V-TE-Vp + p0k)dV+m[N-(TE-Ep)-f°]-wdO. v о,
По определению, принятому в § 10, это равновесие устойчиво, если вторая
вариация потенциальной энергии W2 положительна. По (11) получаем
5SS(@f + pVwT)--VwTdl/>0, (12)
v
так как включение в подынтегральное выражение равного нулю слагаемого
p'V-w, конечно, не влияет на знак.
При составлении уравнений нейтрального равновесия это слагаемое следует
сохранить. Имеем
555 {-p'V• w + ((c)?• /?VwT)- • VwT}dV = 5 5 5 ^'Я w + w-Vp' +
У "у
+ V • [(0? + pVwT) • w] - [ V • (0Я + pwr)] -w\dV =
§19] БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЛА 377
= - S SS tV'¦ (0*+ PVwT)Vp'l¦ wdv +
V
+ SS N-[(0?-f-pVwT) - Ep'\- wdO.
0,
Вхождение лагранжева множителя p' позволяет записать уравнения равновесия
в объеме и на поверхности
в V: V0? + V • pVwT - \р' = 0, (13)
на Ор. N ¦ (&Е + p\wT) - Np' = 0, (14)
к которым присоединяется уравнение связи
V-w = 0. (15)
В этих уравнениях р считается найденным по уравнениям равновесия в ^-
конфигурации, дополненным уравнением связи
/3-1=0.
§ 19. Безопасное нагружение несжимаемого упругого тела
Как и ранее в § 13, "мертвое" нагружение предполагается заданным на всей
поверхности тела, а поле виртуальных перемещений удовлетворяющим условию
(1.21) и, конечно, условию несжимаемости (18.15). Входящий в критерий
(18.12) тензор преобразуется по (18.7) к виду
0?.-f-/7VwT = T?-Vw + pVwT-j-4\p.2F-s- F ~f
+ 4П SjvrMFr.eJF* (1)
N=1Г=1
После замены его значением Т+рЕ, имеем
Т? • Vw + pVwT = (Т + рЕ) • Vw + рVwT = Т • Vw + 2рг (2)
и далее
(Т Е ¦ Vw + pVwT) • • VwT = Т • • Vw • VwT + 2 plt (e2),
так как e-• VwT = e--e. Имеем также, сославшись на (15.5), (15.6),
F 8 - F • • VwT F 8 - F • -E = Ix ((F -s)2),
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed