Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
первого слагаемого квадратичной формы (2.11). Учитывая (8), имеем
-Я С С С Т • • Vw - Vwт dV = y JJJ I • Vw' • Vw'T dV +
V V
+ jjf T--Vw'-Vw"TdV + ^ jT- • Vw" - Vw"TdV =
V V
= Ц jjj T- -Vw'-Vw'TdV + JJj T- -Vw'-Vw"MvV (9)
Далее проводятся оценки этих слагаемых. Обратившись к (6), получаем
' Г dw'
дх*
¦dV
t s v
dw" Г Г Г dw'" . . dw"
К о2) дх1 \ | | дх1 dV + (ст2 Og) 9х2 И [ дх2 dv +
dw'
dw" Г Г Г dw'
+ (о3-1Oi) -^г j J J -д^Г dV =
(CTi - а2)2
(а2_ст3)2
dw'
l^dV
а1 I ст2
2 , (СГ3 Ох)2
fff
dw' \2
k-dV] +
дх2 v
dw' \2
3 dV
(Ю)
O2 + O3 VJJJ дхя J 1 П34-СГ1 VJ J J dx1 /
Через о обозначим неотрицательную величину
- - / (CFl -СГ2>2 (<Т2 (73)2 ((73 СГ|)2 п\ ЛП
§13]
БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. ОЦЕНКИ ХОЛДЕНА
361
и воспользуемся неравенством Буняковского - Шварца
С Г Г / дт' \ 2 v _ 1 / Г Г Г dw'
¦ дх*
v
dV
По (10) и (11) приходим к неравенству
+(^1) + (
V
' I dw'
dw'
дх3
/dw'
\ дх1
dl/.
(12)
В ходе вывода, основанного на равенстве (6), можно было бы повсюду
заменить
дх*
I' V
и это позволяет придать неравенству (12) вид
т. .V"'.[(( [(?)• + (?)* +
( dw2 V дх?
/dw^V
V дх2
dw'3
дх1
дtiy' \2
<Эх3
dl/. (13)
Обратимся к оценке первого слагаемого в (9). Пусть а1: ^о2^г(т3, тогда
т. Tw'.Vw"_22>,(&y
S <7
дх**
" 4 !/=1
и по ранее сказанному
(д^У (dw^Y (dw^
\ дх1 J "г" V (Эх2 / ^ \ (Эх3
Уг ст,
(?f)2+(?i-)2+(?iN'2
\ (Эх1 / 1 \ (Эх2 / 1 \ (Эх3
/дау' V llx3
toi V /day' V
+Ы-) +
(Эх1
/(Эю' у у /да,; у
+ V (Эх2 / + V (Эх2 / + \ (Эх3
dl/. (14)
Основываясь на непосредственно выводимом по (1.7.10) тождестве
Vw • • VwT = Ix (е2) + 2(0 • (о,
362
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. Я
имеем
/, (Е2)
00
со = Vw • • VwT- оо-"о
уу 3 / dwq
- е11 + е22 + е33 4" е1'2 4~ е23 4" е31 ¦
dwt
дх3
dw;i \2
ш)
dw2 'дхI
dwj
дх2
д^з
ах2
с?гф_у
дх5 дхЧ
dw2 дх3
и поэтому
/ дК 4 2
\ дх3
ах1
/ dw'
( dw3 N 2
V ах2
/а(r)?\2 V ах;>
<4
(e2) + w-co]d]/. (15)
§ 14. Неравенство Корна
При рассмотрении задачи о существовании решения уравнений линейной теории
упругости Корн (A. Corn, 1908) использовал неравенство
К JJJ/j (е2)с?0 JJJoo-oodK ^oo=-^Vxw, e=4(Vw + Vwt)),
v v
(И
соблюдающееся при равенстве нулю среднего значения вихря вектора
перемещения
JJJ оо dV = 0. (2)
v
Константа Корна К зависит только от геометрии объема V, его поверхность
не обязательно гладкая, может содержать углы и ребра. Точное значение К
известно только для сферы [8.14]. Бернстейн и Тупин [8.13] предложили
нижнюю оценку К, задав вектор w в виде
w = e-RexR, (3)
причем е - постоянный единичный вектор. При этом задании
Vw = еех R - е-RE х е, VwT = exRe-fe-RExe,
Vw - • Vw = VwT- -VwT = (e-R)2Exe - -Exe =-2 (e-R)2,
Vw¦ • VwT = VwT• • Vw = |ex R|2 - (e-R)2Exe - -Exe =
= |exR|2 + 2(e-R)2 = tf2-f (e-R)2
§ 14J НЕРАВЕНСТВО КОРНА 363
и далее
(VW 4- VwT) • • (Vw + Vwг) = 2 [R2 - (e • R)2],
(VwT - Vw) • • (Vw - VwT) = 2 [R2 + 3 (e ¦ R)3] =
= 2[tf2-(e-R)3] + 8(e-R)2.
Задание (3) удовлетворяет также условию _(2); действительно,
VwT - Vw = 2Ехее' R, ~ JJJ (Vvy't - Vw)dV =
v
-Exe fГГе -RdV = О,
если начало координат поместить в центре тяжести объема. Теперь,
представив неравенство Корна в виде
к Щ (Vw -ь VwT) • • (Vw 4- VwT)
dV>
4> j ^ (VwT -Vw)-- (Vw - VwT) dV,
V
приходим к соотношению
4 ^ (e.R)2dV
K>l+TTf ------------^--------- 1 +/ (еГ0е'.0~е • W
Щ R*dV- ^(e-R)2dK /4И) -e-0 e
V V
Здесь 0 -тензор центральных моментов инерции объема относительно
плоскостей координат
в-228ДЛ. e"_SSSrtW.
s г v
Отношение квадратичных форм в правой части (4) имеет максимум
одновременно с максимумом формы в числителе. Последний же достигается для
направления е, соответствующего наибольшему собственному значению 03
тензора 0. Итак,
(/(0) = 01 + 02 + (c)3). (5)
Знаменатель имеет наибольшее значение при (c)1 = (c)2, так что
и минимум этой величины достигается при 0a = 0j. Итак,
Х>3. (6)
Этим определяется нижняя граница константы Корна.
364
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Для круглого цилиндра радиуса г и длины I центральные моменты инерции
относительно продольной и поперечной осей равны
¦1г\
12
13г\
так что
12
у)2<3, е,=~/г*, 0! + (c),
и по (6)
т
4
1 I I \2
'+т(т
при
при
lrt+?
>3,
(т)<з-
(7)
Отметим, что для круглого диска (/->0) эта формула дает значение /(>5 и
это по Пейну и Вейнбергеру -наилучшая возможная оценка для плоской
круговой области.
Достоинство задания w в форме (3) состоит еще в том, что входящие в
неравенство (5) величины непосредственно выражены через геометрические
характеристики объема.
Заметим еще, что неравенству Корна (1) можно придать также вид
(* •+ !) S И 71 и dv > S S S К¦'ю+ h И] dv.
(8)
v ¦
§ 15. Неравенства Холдена и Битти
Сложение неравенств (13.13) и (13.14) приводит по (13.9) к неравенству
jjjT--Vw-VwTdK>(cT3-cT) А,
dwi
~дх*
dW2
i /fcSV , dx3 / \ дхг j
. ( da^V / дацУ ¦+' V дх1 ) + V dx3 J _
dV.
(1)
Вместе с тем, использовав (14.8), можно усилить неравенство (13.15),
записав его в виде
