Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
иным путем полученным в упомянутой работе Ривлина и Сэйрса.
w-N = 0, we3 = 0, N-es = 0, N = e1iV1-|-e2iV2, (20)
e3 = tt, t2 = Nxtt = - N^ + Nfr, (21)
и уравнение (10) приобретает вид [^11(r)3(r)3 "f" ^12 ((r)3^2 "f" (r)2^з) "4"
^2212^2] ' (r)2^2 =
= (^"12(r)3 "4" ^22^2) ^2 = P^12 ^2^21 (22)
(23)
и no (14)
^22 = ±9in-f.n +
и т. д. Приходим к формулам
^¦рс!а=(э1 + и1э2) Nivl + Nivi +
Э1 + 32v3
>26]
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
397
Принимается, что э1 + ф2>0 - в противном случае однородное напряженное
состояние было бы неустойчивым при распространении главных волн.
Необходимым условием устойчивости его для волн рассматриваемого здесь
типа служит поэтому положительность величины
Ф3 = Nlvt + N\v\ + 2N\N\ (vf - vir В,,
Эц-р 2эг2Уз -f- э22р3
(25)
3x-f 32Сз
Знак Ф3 обнаруживается из рассмотрения волн, для которых
N1
v2
N1
Vl
(26)
Pl+ v2 ' 2 V1 v2
удовлетворяют требуемым условиям N\-\- N\-l,
Получаем
Ф3 = о1о2[1+2(о1-о2)2В3], (27)
так что
Ф3^0 при В3 = ~ -lev v2)~*. (28)
Аналогично для волн в плоскостях (е2, е3), (е3,
при Вг =
~f~ 2^1 ^12 ~f~ ^22^'i -
Эц -|- 2^2^12 "Ь ^22^2 -
i(u2-ig-2,
(29)
ф2г&0 при 52
51 + э2Р2
Необходимым условием устойчивости является соблюдение этих трех
неравенств с верхним знаком (>). Неустойчивость имеет место, если хотя бы
одно из них выполняется с нижним знаком (<).
3. Материал Муни - Ривлина. Для него
э = С1(11 - 3)+С2(/2 - 3), э1 = С1> 0, э2 = С2^ 0. (30)
Здесь Эц - э22 = э12 = 0 и, опустив громоздкие элементарные
преобразования, приходим по (14) к формулам
2^u = s1N • F- N + э2
2Х12 - 3jN • F ¦ N + э2
2к12 - э2 причем здесь
1 \ 2
,2 \2 / ,3 \ 2
1 ' _j_' 1
4)4
"" , т , т
vl vt Уз .
(31)
(32)
(33)
= t2 = t
2
(?=1,2,3)
398 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
- компоненты векторов tx, t2 по главным направлениям меры деформации F.
Главные значения акустического тензора определяются корнями квадратного
уравнения
сг2 - (Хп Х22) сг -f- XnX22 Xj2 = 0 (34)
и, поскольку Хп >0, Я2 > 0, по (30) приходим к неравенству
^32-^2 >0. (35)
Оно же по (31) -(33) преобразуется к виду
a2(N • F' N)2 + 31a2N • F- N
1 -N\ 1 -n\ , l-Nl
S' 2 I 2
Vi V2 V3
+
+ "I |4t №tr + (wr - ШПЩ+
I ViVt
1 г/j9.jn\q, I rw2V2/3/31
2лт2+т2-ы1т1]+
V3V3
1
2 2 V3Vi
и выражение в фигурных скобках оказывается преобразуемым по (4) к виду
-4 (#s - №+-4т {tm - т*+4т ("fl - tin)=
Р1Р2 ^2^3 Р3У1
= v\N\ + v\N\ + v\N\ = N • F • N.
Приходим к неравенству
9i2N • F • N -f
1,0 ( t 1-JVl , i-tfl
+ 3132 ( --------2 Г
Pi vl vl
> 0 (36)
и этим устанавливается устойчивость материала Муни - Ривлина.
Иным способом при отличающейся от (10) и (11) форме записи уравнения
распространения плоских волн задача рассматривалась Ривлином и Сэйрсом
(1977). В их работе устанавливались критерии устойчивости не только
материала Муни- Ривлина, но и материалов с потенциальной энергией 9 =
9(7!), 9(/2); случай любого несжимаемого материала остался до конца
неизученным-не были получены алгебраические критерии устойчивости,
выраженные через 9,-, э1к при любом N. Безуспешной оказалась попытка
прийти к более определенным результатам и в публикациях этих авторов 1978
г.
S 27]
КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
399
§ 27. Критерий Адамара в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде
В записи алгебраических критериев положительности квадратов собственных
чисел акустического тензора
входят не только исходные задания описывающих деформацию величин щ, v2,
v3 и функций от них э{, эа, определяемых выбором материала, но и
компоненты Nlt N2, N3 вектора нормали N к волне и перпендикулярных к нему
векторов tlt t2. Исключение этих величин., связанных шестью условиями
из вышеприведенных неравенств, иначе говоря, разыскание критериев,
определяемых только исходными данными, связывается, по-видимому, с
непреодолимыми трудностями: чтобы их оценить, достаточно взглянуть на
формулы (26.14). Столь же громоздки иначе записываемые, но также
содержащие Nlt N2, N3 неравенства, приведенные в работах Ривлина и Сэйрса
(1977, 1978).
1. Здесь задача будет рассматриваться другим путем. Через эк, в
отличие от § 26 обозначаются производные э по щ, v2, v3
а компоненты акустического тензора в ортонормированном базисе е1( е2, е3
собственных направлений меры деформации Фин-гера определяются по формулам
(4.12.9), (4.12.20). В них главные напряжения ок заменяются их
выражениями через эк по
N•N = 1, te-tp = 6ep, N • ta = 0 (а, |3=1,2),
дэ
эъ " dvk ' 3ks
dvk dvs '
(4.3.12), (4.3.16)
14 Vi д2э
Получаем
Выражение Q12 преобразуется к виду
VxV^-V^ + v!-^
2ЩЭ1-
Vl - Vi
2
и после упрощений
VZQ12 = ViV2NiN2 (э12 +
V Vi-V2 J
(2)
400 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
При обозначениях
я Л Г'!5!---У292 А ____ А ___________V232.____
^*12 21 2 Т~ > 23 П32 2 ,2 >
Pi - Р2 Г2 - Р3
А ________ А _________ Рз^з -
Л31 л13 2 2 '
Р.ч - Pi
D В ^1^2---52Pl О ___ В S-V3 5з^2
12 21 2 2 > 23 Д32 2 2 >
Pi Р2 Р2 РЗ
.93Р] -3jP3
