Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
функционала (10.1)
№2(w) =1 = )/ Ц VRг • P- • Vwr dV -
V V
P- • VwTdi>= (4)
Следует предвидеть, что так определяемый критический параметр нагружения
превышает его точное значение, поскольку априорное задание вектора w
эквивалентно наложению связей, ограничивающих деформативность стержня.
Это заставляет относиться с осторожностью к так находимым параметрам.
Примем, например,
^ = 0, w2 = f(a3), w3 = - a2f' (а3). (5)
Это соответствует заданию бокового смещения (по оси OY) оси стержня и
повороту его остающегося неизменным поперечного сечения вокруг оси X.
Здесь
ООО ООО
бц 0, в22 = 0, е33 = о f (от), б12 = е23 -=
е31 = 0,
0 1 /dw3 dw2\ с, , 0 0 А
Wl ~ ~2 (за1"- За5) ~ f ~ -
*) Это решение воспроизведено в IX, § 7.11 "Теории упругости" автора.
Использованы представления решений (11.16), (11.17).
12j ЗЛДЛЧА УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ 357
§
и по (11.10), (4), (3)
+ Щ [f" (a3) a2]2 dv + 2 + HI f'2(a^dv =
i
Q 2 2+(1 - V)
О
:§das [2-(Я + 211) lxg'2
(6)
Здесь
f'(a*)^g(a3), Ix=\\{a2)2dcd da2, Q = 2p(l+v)S063.
s"
Условие стационарности функционала (6) приводится к виду J - (X + 2р.)
Ixg" + 2 + JQ у) ^ g Sgda3 + g'(/)6g(/)-
-g'(0)6g(0) = 0
и для консольного стержня (на нижнем конце 6g(0)==0, на верхнем бg(l)
произвольно) однородная краевая задача приведена к дифференциальному
уравнению и краевым условиям
г'+грг,Т77*=0. г(0)"°' *,(')=0' (7)
причем в знаменателе выражения Ах отброшено малое слагаемое (1-v)63 = (l-
v) Q/(ES0). Находимая отсюда критическая сжимающая сила определяется
выражением
. " . - п2_Е1х Х + 2ц q _1-у Л 'N-1 > О
IV| 4/2 ? Чэ (!_2v) (1 + v) " V I -v У
Q3 = T (8)
и превышает эйлерово значение для всех v с (- 1, 1/2), исключая v = 0.
Эту же формулу приводит Пирсон [8.11].
Следуя Пирсону, зададим поле вектора w соотношениями
w, - vtfaY (a3), w2 =yv(al!-/)f4/, wa = - a2f (9)
--это формулы для перемещений в задаче Сен-Венана об изгибе парой тх, в
которых постоянная тх/(Е1х) заменена кривизной оси f"(a3) изогнутого
стержня.
Теперь
eu = - va2f" (а3), е22 = - va2f", е33 = - a*f",
Si. -о, °е23 ==|v(al2-a'32)/"', 6°31 = -ivflV/'",
to1=-i-v(alS -a22)со 2 =-jvala2f", со3 = 0
358
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[гЛ. к
и выражение (3) квадратичной формы Ф приобретает вид Ф = р (1 + v) a^f"*
+ у,Af2 +1 v2n ( 1 + y Л ) (а1* + *2V ?"Г+
+ -^рль4 (al2-a?)f'f".
(10)
Сохранив здесь лишь первое и второе слагаемые и заменив, как выше, А его
приближенным значением (l-f-v)83, придем к эйлерову значению критической
продольной силы.
Естественно пренебрежение третьим слагаемым в (10) - оно внесло бы в
представление функционала Wг член с множителем
j'J (а1* + a2*)2 da1 da2,
s "
малым для тонкого стержня. Менее приемлемо пренебрежение последним
слагаемым в (10). Сохранив его, получим для функционала W2 выражение,
пропорциональное
i
И
da3
2 Е
I
= -j\daS о
1 v
т~Ч8*
I
_и
8'
V -
2
Е1Х
сI Q g=f.
причем, поскольку задание (9) вектора w предполагает изгибание в
плоскости YZ, следует принять /у//х > 1. Соответствующая краевая задача
для консольного стержня
Чп Л1 'Ql ~ = 0, Я(ОНО, g'(l) = 0
, . 1 | а3|
1-1 V ---
^2 Е
г-1
Е1Х
приводит к критической сжимающей силе, превосходящей эйлерово ее значение
Q
Qs
§ 13. Безопасное нагружение. Оценки Холдена
Задача состоит в определении нагружений, гарантирующих положительность
подынтегральной квадратичной формы гЁ, значит и интеграла (10.1) от нее.
По определению (10.5), при этом
§ 13J
БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. ОЦЕНКИ ХОЛДЕНА
359
условии невозможна потеря устойчивости равновесного состояния ^-
конфигурации.
Предполагается, что по всей поверхности тела задано "мертвое" нагружение
и выполнено условие (1.21), иначе говоря, что и после наложения поля
виртуальных перемещений главный момент внешних сил остается равным нулю.
Эта постановка задачи принадлежит Холдену (J. Т. Holden, 1964), она была
развита в публикациях Битти (М. F. Beatty, 1967-1971).
Следуя Холдену, представим вектор w суммой
в которой первое слагаемое подчинено условию равенства нулю среднего по
объему значения его вихря
Слагаемое w" представляет наложение малого жесткого поворота
причем es - триэдр главных осей тензора напряжений, wt - компоненты w в
этом триэдре, ст5 - главные напряжения.
Во всем последующем рассматриваются равновесные ^-конфигурации в
однородном поле напряжений - тензор Т, значит и F постоянны в объеме.
Условию (1.21) придается вид
W = w' -ф w",
(1)
или
V
(2)
1 " . dw" dw",
e(w") =^-(Vw' + Vw г) =0 или (3)
z OX1 flyS
дх* dxs
При таком разбиении
s t
360
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
|ГЛ. 8
При as-\-at^0 получаем формулы Холдена 1 as - а* г f' с dw'
dw"s
дх* V as at 1 J ] дх*
' v
Я1
dV
(s, t= 1,2, 3),
а в случае cr^ -(- crt = 0
(6)
(7)
Следствием равенства (1.21) служит соотношение (T-Vw -Vw*-T)- -Vw"T =
(T • ¦ Vw-Vw"T -
V v"
-T -Vw"T-VwT) dV =-2 fff (T- -Vw'-Vw"T + T- • Vw"-Vw"r)dV^ 0
(8)
Были использованы условия (2) и (3). Обратимся теперь к преобразованию
