Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
имеют решений для w, отличающихся от жесткого перемещения тела, при
условиях
X + J-p = X>0, р>0,
согласующихся со сказанным выше. При этих условиях нейтральные равновесия
в гидростатически сжатой среде не существуют.
§ 5. Наложение малой деформации на однородное напряженное состояние
В аффинном преобразовании отсчетной неискаженной у-кон-фигурации в
актуальную по (4.15.1), (4.15.2)
R = г- A, F^Ar-A, T=2(det А)-1(ф0Е + ф1Ат-А + ф2(Лт-Л)2)
342
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
и коэффициенты линейного преобразования над вектором w в формуле (4.4.8)
постоянны,
0^Т-Vw+4 У ?
г
-ф08 (w) + o|)2F.e(w).F-
+Х Z ^wrFr F'v • г (w)
Г=0М = 0
(2)
Ограничимся далее рассмотрением одноосного растяжения стержня гл. 6, § 2.
Ось стержня совмещается с осью OZ, и выражению меры Фингера и ее квадрата
придается вид
F = (Ui + i2i2) сс2у2 + i3i3y2 -¦= EocV + у2 (1 - а2) i3i3,
F2 = Еа4у4-)- у4 (1-а4) i3i3. (3)
Главные напряжения alt о2 равны нулю,
ф0 + а2у2фх + а4у4ф2 = 2у а напряжение a3 представляется выражением
Стз = 2у (^^ + 2а^ + у2а2| представимым по (4) еще в двух видах
^я; + <1+а')^+л'Й=0' (4)
2 (1-а2) [ дэ , " "дэ
сго = з -гг- 4- у2а2 з-р
3 а2с \ а/3 1 д12
dh
(5)
(6)
По (2) тензор 0 оказывается равным 0 = и^з gf-S {а4 + У2 |f3)
8 (W) +
дз
+дГ(1~а*'>
\
(1-а2) 13>зезз +ос2 ^ (i3i^ + i^i3) е
S= 1
+ У* { ^°°Е'V'w + №V 'w + (1 " a') езз] +
+ d22y4F2 [a4V-w + (1 - а4) е33] + {101У2Е [a2V ¦ w + (1 - а2) е33] J-+
d10FV-w + §o2y4E [a4V-w+(l -а4) е33] {>20F2V-w-f
-f- d12y4F [a4V-w-f (1 -a4) e33] + \}2ly2F2 [a2V-w + (1 -a2) e33] J-. 0)
Основываясь на .(c)^-критерии (5.13.11), имеем по (6) a; 1 при сжатии (сг3
< 0) и a < 1 при растяжении (ст3 > 0).
§ g] НАЛОЖЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ 343
§ 6. Наложение деформации кручения на одноосное напряженное состояние
Вектор перемещения w задается его проекциями
wi = - У У2 у "= У2*, Щ -= уф {х, у) (1)
на главные центральные оси инерции поперечного сечения призматического
стержня в отсчетной у-конфигурации. Эти оси сохраняют свои направления в
^-конфигурации, так как преобразование в нее у-конфигурации
осуществляется преобразованием подобия
х = ava1, у - ava2 (2)
(а1, а2 -координаты в у-, х, у - в ^-конфигурации точки поперечного
сечения.) Площадь поперечного сечения, полярный момент инерции и
жесткость при кручении в ^-конфигурации выражаются через эти величины в
отсчетной конфигурации по формулам
S - a2v2S0, Iр = а*иЧ°р, C-^aiviC°. (3)
Имеют место соотношения
§§xdO = 0, §§ ydO^O, ^xydO = 0, (4)
ООО
выражающие, что OX, 0Y - главные центральные оси.
Только компоненты е23, е31 линейного тензора деформации над w отличны от
нуля и равны
+ e.n = i{°?-y)- (5)
В формулах § 5
А ((r)) (r)33 0> (r) (*2*3 ~Ь *3*2) (r)23 (*3*1 Н- *J *з) (r)31 ((r))
и после вычисления по (5.7)
в=ТсГз"з(-hy+i2x)-4v (щ+а2и2^ [(i3ix + iii3) в31 + (i2i3 + i3i2)e23] и по
(5.6)
е = {i3 (-ii*/ + i2*)+j^2 (isii + i,i,) [рх~у) +
+ (*2*3+ *8*2) (^ + Л:) | • 00
Уравнения равновесия в объеме и на боковой поверхности стержня
V.0 = O, N • 0 = (TV.ij + У212)-0 = 0
344
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
I Г Л .8
сводятся к известным уравнениям линейной теории кручения Сен-Венана
У2Ф^0,
(8)
Вектор напряжения в поперечном сечении определяется выражением
t = i, 0
= { ( ЬУ + М) + [i2 [% + х) + i, [д?-У) J }
и нетрудно проверить, что главный вектор этих сил равен нулю.
Действительно, например, по (8)
бф \ д (д ф дх y)+djjx{dy~rX
dO
= $x(%~yNi+xN2)dl=V
J
Г
и по (4), (9), как требуется,
SSfrfO=0.
о
Главный момент напряжений равен 55 (М + \гу + i3z)xfdO -
(10)
W3
х2 + у2-
X [д-^ + х \ду
'Зф
dO+
дх ~У
+ i32X
Второе слагаемое по (10) отпадает, а сославшись на (3) и (6.13.9),
получаем
mz--= (у=^зС° + /^ . (11)
Крутящий момент может оказаться равным нулю при а> 1, когда в ^-
конфигурации согласно (5.6) стержень сжат. Тогда по (11)
_1 __ 1 _С!
гО *
/
(12)
Известно, что причем равенство имеет место только
для круглого поперечного сечения и концентрического кольца. Поэтому
неравенство
1 , С0
§7] ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНО НАПРЯЖЕННОЙ СРЕДЕ 345
позволяет определять геометрические характеристики стержня с поперечным
сечением отличным от круга (или кольца), когда при надлежащем задании
напряжения сжатия |о3| одноосное напряженное состояние нейтрально - не
исключается деформация скручивания при отсутствии крутящего момента на
торце стержня.
Критическое (бифуркационное) значение сжимающей силы определяется по
(5.6) и (3)
Q-|cr3|aVS0 = 2S0t'(a2-1) ^ - , (14)
причем v я а определяются по (12) и (5.4). Последнее условие отпадает,
если материал несжимаем, и заменяется условием
У /3 - a2v3 - 1, vs = а~2 = 1 - -0
/ П
и критическая сжимающая сила представляется выражением
Q
2S"C° >-С"
р
1-
С"
'п
) дэ
дГУ
дэ
(15)
В несжимаемой среде
h = у2 + 2у-1,
ёэ (и)
- V
' + 2t>, э(1и /а) = э(и),
f дэ , дэ
f дэ , дэ \ = 2(1 -v->)(WiV + Wt)
dv
и это позволяет представить Q формулой
ёэ
Q -
(16)
Вектор перемещения из СУЭ- в ^^-конфигурацию в рассмотренной задаче был
