Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
приближениями
/1 = 3 + 2й, /2 = 3 + 4й, /3=1+2Й,
о|= 1+26, (s= 1,2,3),
формулы для скоростей поперечных волн приводятся к виду
"cia - 1 "Ь 2бх + (Sj + ба) ^2 + gjj- j (а - 2, 3).
Ро р
(8)
Отличными от нуля оказываются коэффициенты _1_
8',-'з. "и - 4
^оо ' о п1 Ъ1 ^11
(11-8) -J-т (1-1г)-у
т
4
(9)
и скорость продольных волн в том же приближении определяется формулой
?*-/+2 + (у + У+10)6. + (/ + 2^)в- (""
Для полулинейного материала акустический тензор был определен формулой
(4.12.17); сравнение с (4.12.11) приводит при N=ex к соотношениям
^_^[(1-2Л(",+",)+№-1]. (И)
Скорость главной продольной волны (N = ех) по (7) определяется формулой
= ^]/
Х-|- 2(х
350
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. &
тогда как скорости волн, поляризованных в направлениях е2 и е3,
оказываются по (4) равными
(12)
с12 = У1 l/JL-A* ¦ [(1 - 2у) (ог + о,) -f qva - 1 ]'/г ,
У Р (Ql-I- Qg)
1/ 3X + 2fX,[(1 -2g) K+f.-,) +.qV-2~ 4U •
У рк + ^з)
§ 10. Нейтральное равновесие и устойчивость
Мы ограничиваемся рассмотрением однопараметрического семейства &
состояний равновесия в ^-конфигурации; р- параметр, характеризующий
нагружение, осуществляющее преобразование неискаженной натуральной V- в -
^-конфигурацию.
На поле перемещений u = R - г в ^ -состоянии налагается, напоминаем, поле
виртуальных перемещений tjw^1, qq3), обращающихся по (1.4) в нуль на
части поверхности 02 рассматриваемого объема V. Вторая вариация
потенциальной энер-
гии системы по (2.5), (2.7) представляет функционал над Vw
V г
где 47 - квадратичная форма от Vw, и по (2.4)
(2)
Представление (1), учитывая соотношение
0. • VwT = V- (0- w) - (V • 0) • w, (3)
может быть преобразовано к виду
= (V-0)-wdy + -i^ N • 0-wdO. (4)
v о.
Определения. 1. Положение равновесия S'v назовем устойчивым, если
> 0 (5)
для всех w, не равных тождественно нулю и удовлетворяющих условию (1.4).
Оно неустойчиво при невыполнении этого условия
WT < 0 (6)
для некоторого w, удовлетворяющего (1.4).
2. Положение равновесия сназовем нейтральным, если для некоторого
w=w0, не равного тождественно нулю (w0 ф. 0)
и удовлетворяющего условию (1.4), при р = рй соблюдены урав-
НЕЙТРАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ
351
Из определений следует, что "нейтральное равновесие" неустойчиво.
Действительно, W^° - 0 по (4).
Уравнения нейтрального равновесия (7), как следует из принципа
стационарности § 3, выражают формально существование форм равновесия
eS%0, близких к рассматриваемому.
Пусть of р, р ^ р0 - семейство положений равновесия и пусть р0 > 0
таково, что для некоторого е>0 равновесия of р, р? 6(р0 - е, р0),
устойчивы, а <?р, р€(р0> р0 + е),-неустойчивы. Естественно предположить,
что в этом случае
Тогда ?РРа -нейтральное положение равновесия. Действительно, приняв
причем г|_1о (г)) (гп^о -^ 0; отсюда и следует, что коэффициент при г)
равен нулю при любом v -в противном случае согласно (9) при надлежащем
выборе р пришли бы к противоречию с неравенством (8).
Этим подтверждается, что значение р = р0 параметра нагружения является
бифуркационным (критическим) - однородная краевая задача (7) имеет
нетривиальное решение w0; им определяется нейтральное, по принятому
определению неустойчивое, равновесие of Ра тела в ^-конфигурации.
Замечание. ^Принятое определение (5) упрощает, но и обедняет понятие
устойчивости. Можно привести следующую аналогиюДпользуясь им, можно
сказать, что равновесие тяжелого шарика в вершине (0, 0) параболы у = ах2
устойчиво при я>0 и неустойчиво, если а < 0. Но его применение не дает
сведений о реальной устойчивости или неустойчивости в вершине параболы у
- ах1.
*) В уравнениях (1.17) принято к = 0, {^=0. 1
WP2° (W) > 0
для всех допустимых w, но для некоторого w0 ф 0
rf"(w0) = 0.
(8)
(9)
W = W0 + T)V,
имеем по (4)
(10)
352
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
§ 11. Нейтральное равновесие полулинейного материала
Уравнение состояния полулинейного материала представляется через тензор
Пиола в форме (5.5.5)
Р= (JiSj - 2ц) 0х -f-2p.VR. (1)
Обратившись к формулам (1.10.7), (1.11.5) и (1.11.11), получаем выражение
его конвективной производной
Р = ?iSlOx + (Яд,-2ц) 0х + 2pVR ¦ Vw = [(tei - 2ц) 0х + 2pVR] • Vw4-
3 3
+ M>xv.-Vw-2(bs1 -2p)VrT-^Z ^rf-efcese,-E-e" (2)
s = 1 fc = 1 4' 1 k
причем первое слагаемое можно записать ив видеР-Vw.
Далее мы ограничимся случаем линейного преобразования отсчетной
неискаженной конфигурации в актуальную, сохраняющего главные направления
xs = vsas, R^^i/yz*, VR - VRTV, ^
VrT = V-1, e, = e"=iit 0х - E.
При этом преобразовании тензор Пиола симметричен, триэдр ii5 определяет
его главные направления
Р = 2 = (^si - 2р) Е + 2цУ, ps = lsx - 2ц + 2цу* (4)
S = 1
и имеют место соотношения
(5)
vs+v/t 2 vs~\-vk r
Теперь, использовав также преобразования оо о
VRVw = Vw, Vw -V-1-Vw,
о о
2eA-8-e^iA-Vw-i^ + irVwT-iJ-y*1Vw- -i^ + y^Vw*-
о
VrT • ek - vix\k, V • • Vw = Vw,
можно переписать (2) в виде
ООО
Р = (Xst - 2ц) V-1 • Vw -j- 2pVw -f- AEV• w -
