Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
§11] НЕЙТРАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ МАТЕРИАЛА 353
Заметив еще, что
3 3
V-1-Vw = V У Vw- -i ib=- Vw - -Li
St1 j?, v* da* ' sh dak ' VW das
и обратившись к (5), получаем
0 0 р = 2fiVw -f- XEV • w -f-
X X (^i -2и)
s= 1 Ы
О О
I ^ \ <ь5 1 dwk
Ы
/г1^ -
V vk j dak vs-\- vk da* _
- 2Pv.+"ev ¦ . +1X
3 3
= 2pVw -f ШV-w-f|
U U 1
ЯЕ V • w -f 2pe (w) + -r
P\ +Pi fdw2 дщ\%и_ш +
.?*¦
v.
и1 + у2 {да1 да2
2-4~Рз fdw3 dw2\ ^ , Рз + Pi fdwj дмЛ . '
'2 -у3 \да* да3 ) ¦ 2 3 з г] "Г VsA-vl \дал да1 / ' 3 1 1
Введя в рассмотрение теперь диагональный тензор А с компонентами
Д ±p*±?s А lEi+li, a ^±Pi±?z (6)
1 (i t'2+Рз 2 Р P3+Pl 3 И "1+^2
и вектор вихря вектора w
о , о (r)=|V
0 1 /дач е?Е?;з А 0
С>w3 дш2\
да* да3 / >
1 ( 'dw2 dw-i
2 1 ч да1 да2
(r)2 2 (,<№ aaV' 053 2 (dJ 5a2J ' ^
можно придать представлению Р вид
о о
Р = A,EV ¦ w -j- 2ре (w) -)-
ГО О 0-1
"Ь Р lA^ (U, *зЧ) ~Ь А2&)2 (131! ЧЧ) -f- ^з(r)з (ЧЧ ЧЧ) J ((r))
или же в независящем от координатной системы (инвариантном)
виде
Р = MEV• w + 2ps (w) - [хЕ х А • w. (9)
А. И. Лурье
354
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. ч
Квадратичная форма Ф по (2.8) теперь представляется выражением
, . О , /О \2 /0 \ /О О О \
Ф = у Р • ¦ VwT = у I (. V • w) + p/j (Е2) + |А {/4jO)i + Л2(ю1+Л3C0S J -
=
1 /О Д2 /0 ч 00
= у A^V-wJ -fpJi 1е2У+МЛ--(ого. (Ю)
Уравнения нейтрального равновесия в объеме и на поверхности записываются
в виде *
О 0 0 О О О N
V-P = (A + p) VV-w + pV2w-pVx(A-toJ - 0, (111
00 о
AnV- w + 2рп¦ е (w) - рпх А-о) 0. (12)
Уравнения (11) в форме
ит'д' (13'
были из других соображений получены Саусвеллом (Southwell R. V., 1913).
Их обобщение на неоднородное напряженное состояние в ^-конфигурации
предложено в работах Бицено и Генки (С. В. Biezeno, И. Hencky 1928-1929)
и воспроизведено в книге Бицено К. Б., Граммеля Р. Техническая динамика,
т. I.-М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
Заметим, что выражения (8) и (9) тензора Р отличаются от представления
тензора напряжений Т линейной теории упругости только наличием слагаемых,
определяемых ротором вектора w. Слагаемыми подобного же происхождения
отличается квадратичная форма Ф от удельной потенциальной энергии
деформации линейно упругого тела; точно так же уравнения
нейтрального равновесия (11), (12) переходят в однородные урав-
о
нения равновесия линейной теории при Vxw -----0.
Отсюда согласно теореме Кирхгоффа о единственности решений уравнений
равновесия линейной теории упругости можно заключить, что равновесное
состояние в ^-конфигурации устойчиво по отношению к безвихревым
виртуальным перемещениям; о
лишь при условии Vxw =у= 0 возможно существование нетривиальных решений
уравнений нейтрального равновесия (для значений коэффициентов Ляме
линейной теории).
После замены
оо о у о У 0 VV • w.- VxyVxwJ - V2w
уравнениям (11) можно придать вид
0 0 0 ( 0 У и / 13
VV-w - VxB-(vXwj--=0, B=r^(E+|Aj. (14)
'§ 12] ЗЛДЛЧА УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ 355
Общее решение этой системы уравнений может быть представлено суммой
векторов *)
w -w'-fw". (15)
Здесь w представим через градиент бигармонического скаляра ср /00 0 0 \
0 00 о
w' = (,В- + -wj V(ji -B-VV2fp, v4(P -'0' (16)
a w" -через соленоидальный вектор q
0 0 / 0 \ О ООО
w В \-q У В V q. V-q-0, В-1 • • WV2q = 0. (17)
Выражения компонент этих векторов в декартовых осях даются формулами
wi = [(В, + В2В3) di + (В2 -I- вйв,)д\ + (В3 + B^di-B^] а]Ф 0
wl a, (Bidrf1 + Bid2q2 + B3d3q3) и т. д.
§ 12. Приложение к задаче устойчивости сжатого стержня
Напряженное состояние в ^-конфигурации задается здесь
тензором Пиола
Р= т/ 9. VrI-T = ii12t)3V-1-i3i3cr3 --vla3i3i3, 0, р3=и\а3
г g
и по (11.4) компоненты у1 = у2, v3 тензора V определяются из
уравнений
2 (Я + р.) vi -)- ki\ - ЗЯ-f 2р, 2kvt (к + 2р) ц, - ЗЯ-f 2р р3-
Из них находим
w1 = t;2= 1 - = 1 - v63, уя = 1+^- -1+8S (v = 2(5rHO.
? = 2p(l +v)j ,
причем
б3 - Jr, Q-cr3S-cr3y!S0 = /j3S0. (1)
*) Вывод этих соотношений приведен в гл. IX, § 7.10 "Теории
упругости"
автора ("Наука", 1970). Там же в § 7.13 эти решения применены
к задаче
°б осесимметричном нейтральном равновесии полой сферы, сжатой равномерно
распределенным по ее поверхности наружным давлением. См. также [8.6].
12*
356
МЛЛЛЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
Здесь Q - продольная сила, б3 - относительное удлинение в аИ>-
конфигурации, S и S0 - площадь поперечного сечения стержня в этой и
отсчетной конфигурациях.
По (11.6) получаем
а - л - - 2 (Н-т) бз 4-0 (9\
Выражению (11.10) квадратичной формы Ф придается теперь
вид
(e(w)) +Ц/, (а2 ^))+22;^^У^(т1 + ю2) • (3)
Задача об устойчивости сжатого круглого цилиндра была
рассмотрена Сенсенигом (С. В. Sensenig, 1964) на основе точ-
ных уравнений (11.14). Решение, конечно, очень громоздко, бифуркационное
значение параметра определяется трансцендентным уравнением сложной
структуры, представленным через бесселевы функции*).
Для оценки критического нагружения естественно использовать априорное
задание вектора w, соединенное с условием стационарности второй вариации
