Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(К+1 )S5S/. И dV>A.
(2)
15]
НЕРАВЕНСТВА ХОЛДЕНА И БИТТИ
365
При естественном условии (напомним, что о3 - меньшее из трех главных
напряжений)
ст3 - ст < 0 ' (3)
из сопоставления неравенств (1) и (2) следует усиленное неравенство
(Холден)
$$$T-.Vw-VwTdI/>(cr3-cT)(/e+l) SS Ix (е2) dV
(4)
-'Действительно, здесь правая часть (1) заменена меньшей (при условии
(3)) величиной.
Переходим к оценке'второй'группы слагаемых в формуле (2.18). Имеем
h ((F • е)2) = S ? < У* 2 2 e"et, = V4t (е2) ,
s t s t
причем
У2 = Мах (vi, v\, v\). Приходим к неравенству
, дэ
(5)
h (в2) + ? /, ((F • в)2)< ( / , * + у* | ^ |) /, (в2). (6)
(7)
Пр и обозначении
С (ех, е2, е3) = 4
aj'fceseft
s k
имеем теперь по (2.18), (4), (6)
2W - T- -Vw VwT - 4 [/, §з Л (е2) + ^ A ((F • е)2)
+ С (Ej, е2, е3) ^ (Х+1)(о3 - о) -
-4УТ(,>й+р|а'
dl.
7i(e2) + C(e1( б2, е3) =
= В1х(е*) + C(slt е" б3). (8)
Через В здесь обозначена постоянная Битти
дз
дТ7
B=(^+l)(a,-a)-4|/f
= (^4l)(as-a)('-f20lv-av)4-4 ]/
причем использована формула (2.20) и подстрочный индекс V соответствует
номеру переменной, определяемой условием (5).
(9)
366
МЛЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО тела
1ГЛ. 8
Достаточное условие устойчивости равновесного состояния
Битти заменяет двумя порознь рассматриваемыми условиями
Очевидно, что этим гарантируется выполнение и неравенства (10).
Безопасное нагружение далее определяется условием
а с целью упростить вычисление, связанное с установлением знака
квадратичной формы (7), предлагается ограничиться проверкой ее
положительности при выполнении условия (12) в рассматриваемом материале,
иначе говоря, при принятом задании удельной потенциальной энергии
деформации э(11, /2, /3). Как видно из определений (2.15) коэффициентов
ask формы С (е^ е2, е3), ее знак зависит только от этого задания:
положительный для одного материала, он может оказаться отрицательным для
другого. В последнем случае становится неприемлемой замена одного
неравенства (10) двумя (11).
Замечание. По (2.22), (2.23) квадратичная форма (7) преобразуема к видам
ВД (е2) +C(ej, е", е3) > 0
(10)
В 0, С (ej, е2, е3) > 0.
(11)
В---0,
(12)
з
3 3
(13)
g 151 НЕРАВЕНСТВА ХОЛДЕНА И БИТТИ
это позволяет придать выражению (8) одну из форм
367
2*F = Т- • Vw- Vwr -ф 4 j/
8 дэ
G dl9
Е'^-Д ((F -вГ)
3 3
д2э
\ G E E , 2 J 2 VSVkesek' (15)
S=1 fe=l "- s
2Y = T • • Vw• VwT + 4
S= 1
E ((F-e)2)
д2э
dv^dvk t'-s8'st'*8*;
s=l 5=1 /7=1
(16)
в этих представлениях
-= -2 (vtvlulz + у22с2е23 + vtv\&l,) <0. (17)
3 3 3 3
¦ЧЛ , о ДО 9 9
' " 7,
s = l ' S = 1 s=W = 1
В предположении, что материал удовлетворяет критерию монотонности
(5.10.13), выполняется неравенство
ЕЕ
,s=l к= 1
д-2э
С P8cl//,8i, 0.
(18)
Достаточное условие устойчивости выражается одним из неравенств
____3 3
(/С+1)(о8-а) Д (е2) - 4 |/-f-EE
дз
s - 1 й=1
д2э
2(t,2ti|e22 + i'fu2e223 + СзС2е31) > 0, (19)
(ЛГ-f 1)(<т3 - <х) Д (в2) -
, з
- 8 ]/ -f- -|у- (Д^еД + t>2y2e|3 + гДДеД) - ст ..е2 > 0, (20)
S=1
причем в записи (20) учтено неравенство (18).
При дэ/д1.2 > 0 оба неравенства (19), (20) нарушаются-достаточно принять
е5 - 0 для всех s-1, 2, 3 и esk^0 хотя бы для одного esk(s^k). Это и
заставило отказаться от непосредственной оценки неравенства (10), заменив
ее сначала требованием Неотрицательности В и последующей проверкой
положительности формы С (е,, е2, е3).
368
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. S
§ 16. Сжатый стержень (эйлерова колонна).
Материал Мурнагана
Главные напряжения в сжатом продольной силой Q стержне равны
СТ^О, СГ2 = 0, (73 = J (1)
и по (13.11)
ст = 0. (2)
При принятых в гл. 6, § 2 обозначениях по (15.5) и (2.21)
v1 = v2 = av, vs = v, а>1, V = v1; }/73==а2у3, (3)
^ = 2u_1 {wi+'"2 ж) = -2а2у {ж + ^ж)- ^
Отсюда и из представления (5.6) напряжения ст3 определяются а, у и далее
р3.
Предполагается, что в рассматриваемом материале
Ж>° <5)
и критерий Битти по (15.9) и (15.11) приводит к неравенству
<г<ёт- <б)
Если ^-конфигурация - натуральная, a S0 обозначает площадь поперечного
сечения в этой конфигурации, то
(1, = ^, S = S0, (7)
Для стержня круглого поперечного сечения при 3
по (4.7) оказывается безопасным нагружение силой
Q = гтттт- (8)
J+T V А
Представляет интерес сравнить это выражение с эйлеровой критической силой
(9)
для стержня, края которого лишены возможности поворачиваться при
наложении поля виртуальных перемещений w ("заделанные" концы) -в такой
конструкции выполняется условие (1.21), существенно использованное в ходе
вывода неравенства
§161 СЖАТЫЙ СТЕРЖЕНЬ. МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА 369
(10)
Холдена (15.4). По (8) и (9) получаем
Q _ 6
<2э ~л2 (1+V)
и это отношение составляет приблизительно 0,6 -0,4 при 0<v< 1/2.
а) Материал Мурнагана. По (5.3.2) имеем
дэ
31
7=![ЧЛ-3) + 2|1(/1-1) + ^/(/1-3)(r) +
т(/!-2/,-/,) + ? , (И)
2
дэ 1
2р. + т (/, - 3) -Г ~2 п
дэ 1
и отличны от нуля вторые производные
(tm)=±[к + 2р + 1(11-3) + 2т(11-1)],
dh 4 д2э 1
-т.
(12)
dlxdl2 4
Ограничимся в предстоящем вычислении удержанием слагаемых, линейных по
