Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
на собственные числа меры Фингера F.
А. и. Лурье
386
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ. s
§ 23. Условие Адамара и устойчивость
Ограничиваемся, как и ранее, рассмотрением аффинных преобразований
натуральной отсчетной и-конфигурации в актуальную равновесную ^-
конфигурацию. Эта конфигурация, напомним, устойчива, если
потенциальная энергия в ней имеет мини-
мум-ее вторая вариация положительна для всех w#0 при w = 0 на части
границы 02, на которой задаются перемещения. По (2.5) и (10.5) этому
условию придается вид о о
VwT--s0 о ••VwTcfo>0 (1)
v VRVR
для всех w, удовлетворяющих перечисленным требованиям.
Доказывается, что следствием устойчивости является выполнение неравенства
Адамара (22.12)
Ьа--э0 0 -Ьа>0 (2)
VRVR
для всех векторов а, Ь. Иначе говоря, если это условие не выполняется, то
^-конфигурация неустойчива. Приступая к исследованию устойчивости
некоторой равновесной конфигурации, следует убедиться, что в
рассматриваемой области удлинений и,, v2, v3 выполнено условие Адамара.
Введя в рассмотрение скаляр ср (д1, д3, д3), примем
о /°\ (0 V 0
w==cpb, Vw^VcpJb, VVwJ -bV<p, (3)
причем наложенные на выбор w ограничения будут выполнены, если ф^О и ф =
0 на всей границе О - это обеспечивает условие на 02; на остающейся части
границы Ох вектор w-любой, в частности, также может быть принят равным
нулю. Неравенству (1) придается вид
г г г 00
J)) V^p-S-Vqdv > 0, S = A'frtsbrbsrclrt = s9tr"rt. (4)
V
В другой записи выражений (4) и (2) имеем
s'v>>0 |5)
v
и необходимо убедиться, что выполнение первого (интегрального)
неравенства требует неотрицательности матрицы ||s^||. Это "неочевидно",
так как положительность интеграла не обеспечивает того, что таковой будет
и подынтегральная функция. Требуется так выбрать удовлетворяющую
наложенным на нее уело-
[рз
УСЛОВИЕ АДАМАРА И УСТОЙЧИВОСТЬ
387
виЯМ функцию y(ql, q2, q3), чтобы подтвердить это предположение.
Постоянный (не зависящий от координат q1, q2, q3) тензор S = ST может
быть приведен к главным осям
S Ajijij -)- A2i2i2 Agigig.
(6)
Здесь Хк-главные значения тензора, \к -его главные направления, одни и те
же во всех точках тела. Их можно принять
за оси декартовой системы х1, х2, х3
Тф • s • v* = *< 0 $ .= ? ¦ У, • Тф - ? \
4 4 k=\ k=l
Неравенства (5) приобретают вид
3 3
? SSS(^r)1 dxldx2dxS>°. ("*¦=!*•") (8)
к= 1
k = l
и остается убедиться, что первое требует неотрицательности %k.
Примем точку х\, xl, xl за вершину параллелепипеда Кн с ребрами hlt h2,
h3, целиком расположенного внутри тела. Координаты точек в нем
удовлетворяют неравенствам
4 <**<4 +Л*; (9)
положим
О вне Kh,
<р (хх, х2, х3) = ¦
f
х1 -xl
J , - Xp \ j ( х3 ~ XQ
внутри Kh.
(10)
Здесь функция f (t) определена при O^^^l и вместе со своими производными
до достаточно высокого порядка обращается в нуль при t - 0 и t - 1.
Теперь интегралы (8) преобразуются к виду
\т
dx1 dx2dx3 =
лш
-f
Г
,( х'-Хо
dx1
г-
як
x2-xl
V h"
dx2
-х0
dx3.
При обозначениях
[r\t)dt = a, lf2(t)dt = $ (о>0, р>0)
13"
388
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1гЛ. S
получим теперь
К
После подстановки в (8) приходим к неравенству
2я* j Я (Ю'dx'dx'dx'=ч**а*. (д+if+д) > "•
*-1 и
откуда и следует, что
(6= 1,2,3),
причем одновременное выполнение трех равенств исключается. Этим завершено
доказательство теоремы:
устойчивость равновесия => условие Адамара.
§ 24. Сильная эллиптичность и устойчивость
Обратное предложение:
сильная эллиптичность => устойчивость аффинной
равновесной конфигурации
может быть доказано для первой краевой задачи - перемещение задано на
всей поверхности тела - налагаемое поле возможных перемещений подчинено
требованию
на О: w = 0. (1)
Его можно мыслить осуществимым, предполагая, что в натуральной
конфигурации тело заключено в абсолютно твердую обойму и предотвращены
смещения прилегающих к ее внутренней поверхности частиц среды.
Предполагается наличие приспособления, допускающего изменение размеров
аффинно преобразуемой обоймы.
В рассмотрение вводится вектор
w/ 1 2 \ w(^' ?*' ?3)' W1.
W(? ' " ' ")"( о, (?¦,,•,"•)€*, (2)
непрерывный по (1) и кусочно дифференцируемый в g3. Это
позволяет заменить (23.1) выражением
55JvwT-.a0 о • -VwMy = 5J5 VWT--э0 0 •-VW' dv, (3)
V VR VR <?з VR VR
в котором, напоминаем, Эо 0 -не зависящий от координат
VRVR
тензор четвертого ранга.
§ 24] СИЛЬНАЯ эллиптичность и устойчивость 389
Определенный в <§3 вектор W представйм преобразованием Фурье
W(<7\ ?2, ?3) = (2я)-3/^^ехр(г-ш)С((о1, со2, о)3) йоз1йох2йозя, (4)
причем С -трансформанта Фурье вектора W
С-= (2л)~3/г ехр (-ir-co)W(i71, 172, q3)dv. (5)
<§з
Обозначая чертой над буквой переход к сопряженным величинам и переходя к
декартовым координатам ач, имеем
Шо ° ^ crcd^r dWs
VW'..S" " =
= >T farts ^ tco?) Cr (- ico) (no,) C* (tco) <4% d<a2do)3, (6)
qrts -"
причем последнее равенство -следствие теоремы Планшереля и теоремы о
дифференцировании -трансформанта производной функции по ат равна
произведению tcom на трансформанту функции. Равенство (3) теперь
