Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
наперед задан формулами (1). Поэтому нельзя отвергать существования
других нейтральных равновесий (изгиб-ных форм, например) при меньшем, чем
определяемое формулой (14), значении сжимающей силы.
§ 7. Плоские волны в однородно напряженной упругой среде
Плоская волна в направлении, задаваемом вектором N, определяется вектором
перемещения
w (t) w0 (/) exp ikN ¦ R, w0(t) = w0e!(i>t. (1)
Здесь k - волновое число, со -частота, c = a!k - скорость распространения
волны. Уравнение движения частиц первоначально напряженной неограниченной
упругой среды записывается в форме (1.17), причем отсутствовавшая в ^-
конфигурации мае-
346 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
совая сила в (^эх-конфигурации трактуется, как "сила инерции" (этой
терминологии, конечно, можно и избежать)
p'k ¦= - pw (/) = - pw0 (t) ехр t&N ¦ R = pco2 w (t). (2)
Уравнение движения приобретает вид
V - 0 + pco2w (t) - 0. (3)
В представлении (5.2) тензора (c) градиент w заменяется его
выражением
Vw .= R*w0 (t) ехр ikN ¦ R ik N • R - г/eR'w (t) N • Rs ikNw (t) (4)
- набла-оператор заменен вектором ik N. Поэтому
1 r-л, _ J_ •
2
I1(FN-E)^=ikN-FN-w
и т. д. Получаем
е - ^ ik (Nw + wN), -8= -5- ik [F^- Nw + Fw • wN],
0 = г'& \ T- Nw
+2/1
- ф0 (Nw + wN) +ф2Р -(Nw + wN)- F -f
' 1
+ 2^5] WFrN-FA'-N \ (5)
Г=о A' = o . )
и далее
V-0-= - k2 Jn-T-NE +2 ]/ -| ^-ф0 (E + NN) ф- ф2 (N ¦ F • NF +
I
+ N-FF-N)-f2 S S iVrN-F^Fr-N
N~oГ=о
Заменив здесь T его выражением (4.3.4), придем к представлению
V-0 = -4k2 Y§ y№N-F.N4^2N-F2-N)E +
+ -^g(N-F-NF + N-FF-N) + (ft00-1ф0) NN+{lnN ¦ FF • N+ -f "%2N • F2F2¦ N +
{}01 (NF • N + F • NN) + fl02 (N • F2N + NF2- N) +
+ 0]2(N-FF2-N + N-F2F-N)]-w (6)
в виде произведения
V-0 = - 4k2 ]/J-Q-w (7)
справа на w тензора, отличающегося только множителем от
акустического тензора (4.11.16). Уравнение движения (3) приво-
§8]
ВОЛНЫ В ГИДРОСТАТИЧЕСКИ НАПРЯЖЕННОЙ среде
34?
дится теперь к виду
p(r)eE)-w = °. (q-tp^e)-w = o (8)
характеристического уравненения акустического тензора, причем 74р0с2 -
его собственные числа.
Как будет показано в §11, они положительны, значит и скорости N по любому
направлению вещественны для деформированных состояний в ^-конфигурации,
пока материал остается сильно эллиптическим.
§ 8. Плоские волны в гидростатически напряженной упругой среде
Проще всего, не прибегая к общему представлению (7.6), преобразовать по
(7.4) выражение (4.17)
V-0 = (Х + р) VV-w -f pV2w =- - k [(X-f р) NN -f-pE]- w. (1) Уравнение
(7.3) приводится к виду
[(Я + р) NN + pE-pc2E]-w = 0, E = NN + t1t1 + t2t2, (2)
причем tlt t2, N - ортонормированный триэдр, векторы t,, t2 расположены в
плоскости, перпендикулярной N. Уравнение (2) переписывается в виде
[(Я-)-2р - рс2) NN + (p -рс2) (t1t1 + t2t2)]-w = 0.
Для продольных волн ts-w = 0 и скорость их распространения см оказывается
равной
/л?- (3)
Для поляризованных перпендикулярно направлению распространения волн,
поперечных волн, N-w = 0. Их скорость сх равна
= / ) = "'¦'• ]/!• (4)
В ненапряженной линейно упругой среде и=1, А=Д р = р. Приходим к хорошо
известным выражениям продольной и поперечной скоростей
^=Yl- <5>
348
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЁЛА
1ГЛ. 8
§ 9. Главные волны
Собственные значения акустического тензора в общем случае зависят от
направления волны N, и вычисление скоростей связано с решением
кубического уравнения с зависящими от N коэффициентами. Задача
значительно упрощается при рассмотрении волн, названных Трусделлом
главными; они имеют направления главных осей тензора напряжений (или меры
Фигнера) е,, е2, е3 в ^-конфигурации.
Для первой главной волны ех = N
F ^=yfNN + vle2e2 + и§е3е3, iVj = N ¦ ех = 1, Ns^ N-e3 = 0, ^3 = N-e3 =
0. (1)
Выражение акустического тензора (4.11.16) приводится к виду Q - [(*.-уФо
j ^11 + '2 Ф2) +yi^22 + 2&01Ui-)-2{l02Ui-|-
+2§12о?] NN + у уДфх + ф2у?) Е+у ф2 (yJNN + i>ie2e2 + у|е3е3). (2)
Скорости волн, поляризованных в направлениях е2, е3, определяются по
(7.8) формулами
¦^|Р0С?2 = Ф1 + Ф2 (Wi + W*). ^|РоС2з = Ф1 + Ф2(У1 + ^)- (3)
По (4.3.4)
Фг + Ф2 М + vl) = 4- уГ--^т=Ц > ф! + ф2 (vt+vt)
/ У g Vi- V2 г т g v! -t's
и представлениям (3) придается вид
рсх2 ах-а2 рсХз о, - Од /,.
2 2 2' 2 2 2 * \ / Dl Hi-Da Vi I'x-V-s
Квадрат скорости продольных волн представляется по (2) выражением
Y Pocn = ^oo -j Ф° ~byi(^n'r-2^l2)^~ yi^2 2 + 2H01Wi -j- 2H02ut -j-
+ 2^12У1 + j v\ (i|y + 2ф2). (5)
Оно также представляется через главное напряжение оу
^^-^(Фо+Ф^+ФдУ4) (6)
§э1 Главные волны 349
и несложно проверить, вспомнив определение (4.5.4), что правая часть (3)
представима в виде
I i/y- да j
4 VldVi ¦
Приходим к выражению
дсц
РИ\==^. (7)
Можно было бы избежать этих вычислений, вспомнив представления компонент
акустического тензора (4.12.11), когда вектор нормали N определен по (1).
Полученные выражения скоростей вещественны для сильно эллиптического
материала согласно неравенствам (4.12.12),
(4.12.13).
Для материала Мурнагана по гл. 5, § 3, если довольствоваться
