Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 111

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 158 >> Следующая

переписывается в виде
5JJvWT--a0 о • -VWTdn= Ao'biO'Ptd^dettdxo^
?3 VRVR -°° rs qt
= Ш Х!С|2сЛ X. Ачги ^e^td^d^d^, (7)
-оо rs qt
причем введены векторы с, со
С s (Од
г =-------- р --
5 | С I ' Я со '
Для сильно эллиптического материала квадратичная форма компонент
единичного вектора е
qt
определенно положительна. Пусть Xrs - ee наименьшее собственное значение.
Через е > 0 обозначим наименьшее из %" и заменим Krs при r=?s нулями.
Имеем
%A*rt*elft>e8rs,
qt
Ц X X A4rtS e4et > 6 Ц X сл = ? X СА= 6
390 МАЛАЯ ДЁФоРмАцйя НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА 1гЛ. 8
и, возвратившись к (3) и (7), получаем Г Г Г VwT • -э0 0 • • VwT dv > e i
i i У, to; I Cb I2 cfo, da), diо, =
•'p VRVR i.k
<*>
/. к v j, k
jy <3
Этим доказано, что равновесная аффинная деформация сильно эллиптического
материала в условиях первой краевой задачи устойчива.
Сильная эллиптичность -свойство материала в некоторой области
деформирования. Например, для полулинейного материала эта область
определяется неравенствами (5.5.20), для материала Блейтца и Ко -
неравенствами (5.6.16); гипотетический материал (5.6.17) сильно
эллиптичен при любых деформациях.
Когда в описываемом здесь "мысленном эксперименте" определяющие аффинную
деформацию параметры выходят из области сильной эллиптичности, ранее
устойчивая ^-конфигурация перестает быть устойчивой. Сменяющая ее новая
равновесная (fy3)-конфигурация, если она существует, не аффинна,
потенциальная энергия в ней меньше, чем в aJf3. Процесс перехода из ^ в
должен сопровождаться перемещениями частиц тела в занимаемом им
фиксированном объеме. "Материалу некуда деваться" - следует ожидать
появления в устойчивой ^-конфигурации (с минимумом энергии) появления
складок, точек и линий разрыва производных.
§ 25. Пример. Диск, деформируемый в жесткой обойме
Диск единичного радиуса в отсчетной натуральной конфигурации заключен в
цилиндрическую обойму, снабженную приспособлением, допускающим изменение
ее внутреннего радиуса. Материал обоймы (полого цилиндра и покрывающих
его плит) - абсолютно твердый. Предполагается отсутствие перемещений
частиц материала диска относительно покрывающих его поверхностей обоймы.
В частности, компонента тензора удлинений по направлению,
перпендикулярному плоскости диска, и3=1.
Материал диска - полулинейный. По (5.5.20) он остается сильно
эллиптическим при выполнении неравенств
/.0 = ^ + 0, - у4^>0,
Д = (1-v)a1 + w2 - 2v > 0,
L-г = vo, -j- (1 - v) vz - 2v > 0.
§25] ПРИМЕР. ДИСК В ЖЕСТКОЙ ОБОЙМЕ 391
Область сильной эллиптичности - устойчивой аффинной деформации- в
квадранте ty > О, v2 > 0 плоскости щ, v2 ограничена отрезками с
координатами концов
[(0; 2), (у^,; l) на прямой Ьг = 0,
(2i °)- на прямой L2 = 0, (2)
(г=^Н 1) > (*; гЬ) на прямой Ь0 = 0
И расположена над ними. На биссектрисе угла между осями vt, v2
расположена ближайшая к началу координат точка
ui = и2 = 2(1-v) '
и при
"*<2(П=Ч (S"1'2) И)
материал теряет свойство сильной эллиптичности.
Материальными являются полярные координаты г, ср в отсчетной
конфигурации. Преобразование
R = kr, Ф = ф, Z=z, R = ferer + i32 (5)
определяет некоторую аффинную деформацию.
При
k>K = o^yLv) (при v = 0: Л0 = 1; при v = l; *0=l) (6)
материал сильно эллиптический, аффинная деформация устойчива, при k<_k0
неустойчива.
Неаффинная деформация при наложенных связях может быть осуществлена, в
частности, наложением на деформацию (5) поворота на угол ф(г), равный
нулю на окружности диска
ф(1) = 0. (7)
Вместо (5) имеем
R = kr, Ф = <р + ф(г), Z - z или R = fere^ + i32, (8)
Причем
eR = er cos ф + еф sin ф,
Зер дер , ,
~дФ= еФ = -^ = -ег31Пф + ефсо5ф,
^ = Ф'(ОеФ. (9)
392 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
Базисные векторы в этой конфигурации и градиент места определяются
формулами
Rj^R^&tefl + nJ/eo), R2 = Rv = ^re0) R3 = R2 = i3,
О
VR = & [ег (ел + гф'еФ) + ефеФ] + i3i3.
Мера деформации Коши и ее инварианты оказываются равными
G = VR•VRT = k2 [erer (1 -f г2ф'г) -j- (егеф + ефег) л|/ + ефеф] -f l3i3,
/х (G) = k2 (2 + г2г|/:) + 1 = vl+ vl+ 1,
/2 (G) = k4 -f k2 (2 + г3ф'г) = v\v\ + v\ + v\, h(G) = v\vt.
Отсюда получаем
Vi + v? = &2(2 + r2ip's), v1v2-k2,vi-}-v2 = kA,A~(4Jrr2ty'iy1* (10)
и инварианты /ft(Gl/j) == I'k определяются формулами
7i = Hi v2 1 = kA -)-1, /2 = v1v2 -|- v1 v2 = k2 -p kA, I3 = k2.
Удельная потенциальная энергия полулинейного материала (17.9) после
очевидных преобразований приводится к виду
э(А) = \(К + 2р) k2A2-T^kA + 2А-2р(1-?2). (11)
Здесь А определяется по (10), а при аффинной деформации Л = 2.
Минимум энергии в рассматриваемом случае равнозначен с минимумом
поте'нциальной энергии
г
Э = 2л\гс1гэ(А), (12)
0
так как работа поверхностных сил на виртуальном перемещении из
равновесной конфигурации (8) равна нулю.
По (11) э(А) имеет минимум при
1 (13)
2
k (1 -v) '
< К
Если аффинная деформация неустойчива, т. е.
1
'2(1-v) '
то существует неаффинная деформация вида (8), для которой имеет место
соотношение (13), и по (10)
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed