Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В31 - Bi
(3)
(4)
2 2 Рз -Pi
акустический тензор представляется теперь выражением
3 3
V%Q= 2 2 з,-^,-МАидо,.е^ +(Л12и22М^ + А^МЦ) e^i +
i=i k=i
-4- (A23vlNl+A21vlNl) e2e3 + {A31v\N\-\- A32vlNl) e3e3 +
+ B12N 1N2v1v2 (eje2 + e2ex) + B23N2N3v2v3 (e2e3 + e3e2) +
+ B3lN3Nlv3v1(t3z1 + e1t3). (5)
Отметим еще соотношения ^12+512 = ~42' ^23 + 523 = 1|28_U3' ^31 +
B3l^= Vs__v^, (6)
Л ____ R _?l_!_?? A ___ В __'b±j3 A __R - ?3_+_?l
t-j\
12~Pi + p2' Лгз 23 P2+P3' 31 31~р3 + рГ
2. Неравенство Адамара (22.12) в соответствии с (22.14) и при
обозначении
NiVt = at (t = 1,2,3) (8)
теперь может быть записано в виде
з з
А (а, Ь) = 2 2 Э;ьа{аф?ь + Л12 (o|fc>? + а\Ь\) + Л23 {а23Ь\ + а\Ь\) +
i=i k=\
+ А31 (albl+albl)+2B12a1b2a2b1+2B23a2b3a3b2 + 2B31a3b1a1b3^0. (9)
В частности, приняв ai = a2 = 0, я3 = 1, b1 - 1, b2 = b3 = 0, придем к
неравенству
А31>0.
Это условие и два аналогичных
А12 >0, Л23^0, А31^0 (10)
представляют знакомые ЗВ<§-критерии (5.13.10), выражающие необходимые
условия эллиптичности системы уравнений равновесия рассматриваемого
материала.
Теперь, введя в рассмотрение величины
aibl = xi (t = l,2, 3), (И)
i 2?
КРИТЕРИЙ АДАМАРЛ В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
401
можно заменить (9) неравенством
А (И) Ь)-: 5] S "Ь 2ВХ2ххХ2 -f- 2Вгзх3х3 -f- 2В31х3х1
1=1*=1
Ь_
ь2 ] 1 'V3 \ь M2_l vt(b
+[-? (i-:)=+-s (-§7)1t-з (^)'+^ (urj
-I~4i [x%{t3 )" + X*
Д*0, (12)
в силу (10) выполняющимся при замене величины
х\
-Ь х\
! = xfz -
Х2_
г
7(2), 2 =
и ей аналогичной их минимумами (при фиксированных xj. Но f(z) достигает
минимума при
= 0,
2=м
Xz_ )=xl ii + *! h. = 2
*1 J
Г (2) = хМ^
и этот минимум равен
f{
Неравенство (12) теперь приведено к виду А (х) = эг1х\ + э22х\ + э33х\ +
2 (э12 + В12) х3х2 + 2 (э23 + Вгз) х2х3 +
+ 2 (э31 В31) х3хг -}~ 2 Л12 j хгх21 + 2 Л231 х2х31 -f- 2Л311 х3х31 ^
0. (13)
Оно выражает не только достаточное, но и необходимое условие выполнимости
неравенства (9), так как минимум выражения
Ai2 iflVA + albi) + Л23 (a\bl -j- а\Щ) -f- Л31 (а\Ь\ -j- afb3)
действительно достигается в области задания переменных as, bs.
3. Переход от неравенства (9) к (13) - решающее место всего
построения. Форма шести переменных заменена формой трех переменных,
правда, усложненного вида, так как последняя содержит не только
переменные х1г х2, х3, но и их модули. Задача в общей постановке остается
громоздкой; она упрощается, если ограничиться рассмотрением несжимаемой
среды.
о
В этом предположении аргумент VR выражения удельной
0 0 г-
потенциальной энергии a(VR) подчинен условию det VR=K/3 = 1. Это же
условие несжимаемости материала должно выполняться во всех сравниваемых с
актуальным состояниях, иначе говоря, и для аргумента
VR- (Е + r|Nb),
402 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
входящего в определение (22.8) неравенства Адамара. Итак,
det VR • (Е + rjNb) = det VR -det (E + rjNb) = det (E + i]Nb) =
= l + r]N-b=l, N-b = 0,
так как det (Е + Л^Ь) = 1+r|N-b.
Теперь no (8) и (11) приходим к соотношению связи
N-b-X = = = 0, (14)
i- 1 /=1 i-\
налагаемой на переменные xi в несжимаемой среде. Поскольку vt > 0, оно не
удовлетворяется, если xt, х2, х3 имеют одинаковые знаки-два из восьми
октантов пространства этих переменных выпадают из рассмотрения. Сочетания
знаков в остающихся исчерпываются формулами
1. > 0, х2 < 0, ха < 0, 1'. < 0, х2 > 0, х3 > 0,
2. х2 > 0, х3 < 0, хг < 0, 2'. х2 < 0, х3 > 0, >0,(15)
3. х3 >0, < 0, х2 < 0, 3'. х3 <0, хг > 0, х2 > 0.
При обозначении
1*/1 = +?/ (i= 1,2,3) (16)
приходим к рассмотрению лишь трех комбинаций решений уравнения (14)
(1, 1 ) Xi ^ it X3~^-V3^31 Ех(tm)^2 + Ез"
(2,2) Х2 - it Ц2?2, Х3 = -(- 03|3, Xi = -р , Ег = Ез + , (1
(3, 3 ) Х3 = it Usis, .^1 " I ^*1^1" Х2 - "t ^2^2, Ез ~ El + Е2¦
Верхние знаки соответствуют случаям 1, 2, 3, нижние - случаями Г, 2', 3'.
4. Задача сведена к определению условий неотрицательности трех форм от
двух неотрицательных переменных, получаемых поочередным исключением хи
х2, х3 из выражения (13)
Г (Е., Е3) = ет+2/gfoE, + ж,
Г (Е" Ех) = Ж + 2/siEsEi + да, (18)
г (Ei, у=т'Е?+2/йу2+т.
По (3), (4) и (6), (7) коэффициенты этих форм оказываются равными
/8? = /а -3nvf + 322v!-2 (alt -++>
Ш = fn = 322^1 + 333^1-2 (э23 -1^2) v2v3,
527] КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ 403
fix = т. = Ззз^ + - 2 (э31 - jjj) V,Vlf
fu = 2uVl + (Эзз+j??3) V& -
~~ (Эз1 ~ъТъ) из1>1~{Э12~щТщ)VlV*' ^
/"' = 322v\4- (731 + V3vt -
;3U1
v.v,- ( э23-
12 ox+o*; iw* v"23 °*+v3
fui = 9"vl+ (э12 4 jElj) ^
>23 ~^31 ад - (э" i 0,0,
0.+ 0.У * 3 \ 31 V3+Vl
Необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы
двух неотрицательных переменных zlt г2
/ = an2i + 2a12Zj22 -f- a22zl (20)
выражаются неравенствами
Цц 14 0, и22 (4 О
и,
если й12<0, то аиа22- аХ2^0.
(21)
Действительно, условия ап ^ 0, а22 J4 0 гарантируют неотрицательность
формы при z2 = 0, zx4=0 или соответственно z1==0, г24=0. При а12^0
трехчлен
flu 4 2а12м 4 fl22u2
не имеет положительных корней, а при апа22 - af2^0 не имеет вещественных
