Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
корней. Критерии (21) можно записать и в единой форме
4l =4 ^22 3=^ ^Г^11^22 4 ^12
Алгебраические критерии эллиптичности (или выполнимости неравенства
Адамара, или положительности квадратов скоростей распространения плоских
волн) сведены к девяти неравенствам: к трем неравенствам
fu = № 4 0, /й> = /">> 0, /й> = /й>^ 0, (23)
к трем неравенствам
УШЧ-т'^о, У]Ш+№>о, VWW+№> о (24)
404
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
и к трем .(c)(^-критериям (10). Формулы громоздки, но вычисления по ним при
явном задании функциональной зависимости н2, v3) или э{1х, /2) не могут
встретить затруднений.
4. Для материала Муни - Ривлина (7.4.1) все неравенства соблюдены.
Например,
и, напомним, Cj > 0, С2 > 0. Материал эллиптичен при любых деформациях.
В качестве второго примера рассмотрим материал с удельной потенциальной
энергией деформации
э1=2н1э', эп = 2э' + 4н|э", э12 = 4у1у2э" и т. д.,
причем э > 0 по (10). По (19) получаем
соблюдены три неравенства (26) и, конечно, три неравенства (25).
э = э(/1) = э(у? + ^ + vl).
Здесь
у АУ = (г>1 + Щ)2 [э' + 2э" (Wj-у2)2],
-2 /зУ = (и, +^i)2 ["' + 2э" (и, -иД*],
у /я = (Wi + V,) ("1 + ия) [s' + 2э" (и, - и,) (и, - и,)]
и т. д. Требуется удовлетворить трем неравенствам
э' +2э" К-Из)2 >0, э' + 2э" (v2 - v3)2 > 0,
э'+2э"(и3- и1)2^0 и, скажем, при < 0 неравенству
AVAV-(ZD2 > о,
(25)
(26)
приводимому к виду
(27)
§27] КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ 405
Примем теперь э" < 0 и пусть их ^ и2 ^ и3. Три неравенства (25)
выполняются при
э'>2|э"|(^-н3)2 (28)
и этого достаточно, чтобы выполнялись три неравенства
/м >0: э'^2|/| (Hj-н2) (нх - и3),
/?> >0: э' > 2 | э" | (и2 - и3) (их-н2),
Д32> > 0: э' > 2 | э" j (их - и3) (и2 - и,).
Отметим, что для рассматриваемого материала неравенство
(28) подтверждается неравенством (26.30).
F
Глава 9
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
§ 1. Уравнение баланса энергии. Первый принцип термодинамики
Полная энергия в объеме V сплошной среды определяется суммой его
внутренней энергии <§ и кинетической энергии Э?
<В + Ж. (1)
Закон сохранения энергии выражается уравнением баланса
? + Ж = + (2)
Его левая часть представляет изменение полной энергии в единицу времени-
ее материальную производную. Первое слагаемое правой части было
определено соотношением (2.8.13), как отнесенная к единице времени работа
внешних (массовых и поверхностных) сил
5^j?> = g? + jj'j'T..Ddy. (3)
v
Второе слагаемое Q - подведенное в объем за единицу времени тепло -
"нагревание".
Речь идет только о механических и тепловых процессах; энергии прочих
процессов, скажем, электромагнитных явлений и химических превращений, не
включены в рассмотрение. Нагревание (2 входит в уравнение баланса (2)
равноправно с первым слагаемым, это соответствует принципу Джоуля-Майера
экви-лентности тепла и работы. Конечно, @ измеряется в единицах мощности.
По (2) и (3) уравнение баланса приводится к виду
<^ = 55ST-.DdK + e. (4)
v
В рамках механики сплошной среды внутренняя энергия вводится в уравнение
баланса (2), как слагаемое в левой его части. Уравнение механики mb = f
выражает не тождество ("определение силы"), а равенство двух величин -
"информация" о силе
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
407
должна задаваться отдельно. Подобно этому уравнением (4) устанавливается
связь между тремя величинами, но не следует думать, что им по заданию
правой части определяется <?; внутренняя энергия, подобно силе в
уравнении движения, должна независимо задаваться через величины,
определяющие состояние среды.
Так же как мощность напряжений (первое слагаемое правой части (4))
определяется внешними поверхностными и массовыми силами, в формирование
нагревания Q входит тепло, поступающее в объем V через его поверхность
(теплопроводность), и тепло, распределенное по объему (создаваемое,
например, за счет лучеиспускания внешних источников),
d = \\qdO+\l\prdV. (5)
О V
Через q выражается вектор теплового потока h; к этому понятию приводит
такое же, хотя и более простое, рассуждение, чем использованное при
введении тензора напряжений: заданию ориентированной площадки N dO в
любой точке объема V сопоставляется проходящее через площадку в единицу
времени тепло qdO. Скаляру qdO сопоставлен вектор N dO, а линейность этой
зависимости подтверждается знакомым рассмотрением потоков тепла через
грани элементарного тетраэдра. Приходим к соотношению
q = - Nh. (6)
Теплу, покидающему объем, приписывается отрицательное значение; N, как
всегда, нормаль вовне объема. Подобно основному соотношению Коши (2.2.3),
соотношение (6) отнесено к любой ориентированной площадке в объеме V, в
нем определено поле вектора h теплового потока - скаляр q, линейно
зависящий от |N, представйм скалярным произведением N на некоторый другой
вектор - напомним (II.1.2). Точно так же по силе tN, линейно зависящей
от N, вводилось поле тензора напряжений Т.
В соотношении (6), если относить его к ограничивающей объем
поверхности О, следует видеть краевое условие для h; подобно этому
