Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, по (7) и (4.22) о ,/о оч, /о о \ ,
е (Ы) = 1 (>u + VuT j =-Ц VR + VRT - 2Е J = у (О + От -2Е). (22)
Вместе с тем
Vu • VuT = (О - Е) (От - Е) = 2Е - (О + От) и, как требуется, по (3)
2С = 0 + 0Т - 2Е + 2Е -(О + От) = 0.
§ 8. Объемное расширение. Ориентированная площадка
1. Объемное расширение-это отношение разностей элементарных объемов dV
и dv в актуальной и отсчетной конфигурациях к объему dv в отсчетной
конфигурации. По (1.9) и (7.20)
^_dv~dv= - l = /77(G) - l =
= [1 -f 2/, (С) + 4/2 (С) + 8/, (C)]V. - 1. (1)
Эту же величину можно представить выражениями
т = Vg&g, -1 = Vlv2v3 ~ 1 = (1 + б,) (1 + б2) (1 + б,) -1 =
= [(1 + 2CJ (1 + 2Сг) (1 + 2C,)]V. - 1, (2)
причем Ск - главные значения тензора деформации Коши-Грина.
*) В принятом здесь изложении "вектора места".
?8] ОРИЕНТИРОВАННАЯ ПЛОЩАДКА 27
2. В обозначениях (4.1) векторы ориентированной площадки в отсчетной и
актуальной конфигурациях определяются выражениями
"do = dr' х dr" = е' х е°" ds'ds", N d0 = dR' x dR" = e' x e'dS'dS".
(3)
формулы (4.17) и (3.1) позволяют преобразовать NdO к виду
N dO = е' • VR х YRT • е" ds'ds" = е' • r% х Rftr*- е" ds'ds". (4) По
(1.2.4), (1.2.3) и (2.2), (2.3) имеем далее
R,XR]/-f e,MR* = ]/f e^Vr-r' = ]/ -|Vr-(r,xrft)
и подстановка в (4) приводит к соотношению
NdO=y/^ Vr-(t'¦rsrsxrkrk-e"'^ds'ds"- |/ J- Vr-^e' xe"j ds'ds".
Пришли к многократно применяемому далее соотношению между параметрами
ориентированной площадки в актуальной конфигурации и ее прототипа в
отсчетной конфигурации
N dO = |/ Vr • n do = "J/^ J- n • VrT do. (5)
Обратное соотношение имеет по (3.5) вид
ndo = VR-N dO = ]/|-N-VRT dO. (6)
Следствием этих формул и определений мер деформации (5.1), (5.2) являются
соотношения
у " Y ~(n-Vrr-Vr.n)4.= У (n-G-1 -п)1'.,
^.= /f(N.F.N)V. (7)
- меры G-1 и F определяют отношения площадей ориентированных площадок в
j/3t- и "-конфигурациях, подобно тому как G. g-отношения длин отрезков.
Формулы связи между единичными векторами N и п имеют вид
N = (n-G-1-n)~ Vs Vr n, n = (N-F-N)-'/.VR-N (8)
или в компонентном представлении
Ns = (Gktnknty1/2°ns, ns = (g^NkNt)-'^Ns. (9)
28 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
§ 9. Дифференцирование мер Коши-Грина и Фингера
Дифференцирование инвариантов Ik(G) по аргументу G осуществляется по
формулам (II.3.2), а по градиенту места по (II.3.5)
Л (G)o -- 2Е • VR - 2VR,
VR
/2(С)0 =2 (E/j (G) - G)' VR - 2VR • (Elt (G) - F), (1)
VR
73(G)0 =2/з (G) VrT.
VR
Из последнего соотношения, учитывая, что
/MGjo=ykX(оуо-1, (2)
получаем
|//з(О)0 ~V I3 (G) V7rr. (3)
VR
Дивергенция этой величины оказывается равной нулю. Действительно, по
(III.6.4) и (III.4.8)
V у(tm)' -
dqs
Пришли к тождеству Пиола
V-]/77(G) VH-V-l/MGb- = 0. (4)
VR
По (П.3.4)
>о У^Фо
V R / V R г
и по (1), учитывая равенство инвариантов Ik(G), /л (F), получаем
Л (F)0 = 2VRT, /2 (F)0 --- 2VRT• (Elt (F) - G),
Vr r vrt
/3 (F)0 =2/3 (F) Vr. (5)
VR
§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МЕР 29
О
Сложнее выражение производной по VR самого тензора G. По (II.4.15)
G0 = VR С", + rV• VRTr5rt = VR• Сш +r'r *rfrtr'• R, =
VR
- VR-Cni "Ь vsi'*riRft - VR-Cni +Сц • VR.
Сославшись еще на (1.15.9), получаем
G0 = (Сц + Cin) • VR, g^. (Сц -f Cni) ¦ Vr (6)
VR
--второе соотношение получено аналогично первому.
Формула обобщается на дифференцирование по градиенту места любого
тензора. По (II.4.11) и (1.15.3)
Qo =Qg -C" G0 -- Qg • ¦ (Сц -f-Cm) • VR
VR VR
и, обратившись к определению производной по симметричному тензору,
получаем
о
1 догпп
Qc = yrmr" -2L_ (rsrt + rtrs),
(ПП + НП) • • (Си +СШ) 2 (гЛп -frfrj,
О
дптп
QG .(CII + CIII) = rwr"--|rr(cr,-f rtrs) =2Qg,
St
Q0 = 2Qg • VR, QG = lQ0R-Vr. (7)
VR
В частности при Q G, G0 = ^ (C" + Сш) приходим к (6Д. По (II.4.16) имеем
также
/ О о \ /О О \
Fо = ^ VRr ¦ VrJq .= (.VR-.rfrs + rsrrVR)r^ =
VR VR
" (R<rsH rsRf)rV (8)
и no (7) при условии соосности F и G
Fg = 1f0 •Vr = i(R,R- + R^R/)r'r,. (9)
VR
По (3) и (7) имеем также
|У7ЛО)О]0 =У77(0) (QVrT + 2QG-VR). (Ю)
VR
30 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
В компонентном представлении по (3.11), определениям (II.4.7) и (6),
имеем
G0 - rmtkrqrP= rV (rfr"Vix'!.+ rtreV,x")
VR dvgXJJ
и поэтому
^ = • • -rV (r^r"V 1%п + rtrnYs%n')•
духР
Получаем
=vJkx,+ь$я%Р, ё-'f,=eg,'чкРр+4vmPr (ii)
д^дЦР 4
Понадобится также знание производной Vro . Имеем
VR
YrTo = - VrT • r/t • VrTrV = -¦ r^R"1 • ngf"R"rV = - rmR'JR"!r"
VRT
и далее
VrT0 = Vtq --Cn-.VRS =Vr0T •.CIf--C1II = VrT0 • .C",
VR VRr VR VRT VRT
так что
Yro =-rmR'rtR-. (12)
VR
§ 10. Варьирование деформированного состояния
Частицам среды в ее актуальной ^{-конфигурации сообщается в фиксированный
момент времени t перемещение r\w(ql, q2, q3)\ с точностью до линейных
слагаемых относительно малого^, параметра разыскиваются вариации
(приращения) величин, характеризующих деформацию. Иначе говоря,
определяется конфигурация <Y3f, в которой место частицы задается теперь
вектор-радиусом
Rx = R + t]w. (1)
Вектор-радиусы г и R, как и ранее, задают место частицы в отсчетной v- и
