Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
исследованиях несжимаемого (резиноподобного) материала; их очерк
представлен в седьмой главе.
Убедительная постановка задачи устойчивости равновесия недостижима в
линейной теории. Возможность продвижения со-
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
стоит в рассмотрении малой деформации, наложенной на предварительно
напряженное тело. Этому посвящена восьмая глава.
В девятой, заключительной главе, излагаются применительно к упругой среде
основные термодинамические соотношения. Спорно место, отведенное в книге
этим исходным для механики сплошной среды физическим предпосылкам. В
другом варианте вывод уравнения состояния базировался на принципах
термодинамики. Но в следующих главах для уравнений термоупругости не
осталось места.
Ознакомление с первым и третьим Приложениями рекомендуется даже
подготовленному читателю, чтобы приучиться к языку книги. Во втором
рассмотрены применяемые на всем ее протяжении правила дифференцирования
по тензорному аргументу.
О стандартных обозначениях в нелинейной теории упругости пока нет речи. В
частности, обозначения в книге не согласованы с применяемыми в зарубежной
литературе; в последних также имеется существенный разнобой. Читатель
найдет и записи "с точностью до наоборот" одних и тех же соотношений в
книге и в зарубежных публикациях.
Промежуточные выкладки проводятся с требующейся полнотой. Одно звено в
цепи преобразований восстановимо, два - нет (Литлвуд).
С теплой благодарностью отмечаю помощь и критику моих дорогих друзей -Е.
Л. Гурвича, В. В. Елисеева, П. А. Жилина, Л. М. Зубова, В. А. Пальмова,
В. А. Пупырева, В. С. Черниной.
Отчетливо сознаю недостатки этого труда. Ни один автор не свободен от
этого чувства. Сделал, что мог.
Автор
Глава 1
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 1. Материальные координаты. Координаты места
В механике системы конечною числа или счетного множества материальных
точек каждой точке приписывается сохраняемый ею в процессе движения
номер. Эта возможность отпадает рри рассмотрении сплошной среды -
континуального множества элементов, называемых частицами, материальными
точками, "телами-точками". Различение достигается введением непрерывно
изменяющихся переменных. Для этого, задавшись некоторой фиксированной
конфигурацией трехмерной сплошной среды, приписываем каждой ее частице Л
тройку чисел q1, q2, q3 - ее "номер", остающийся неизменным в процессе
движения. Частицам окрестности Л сообщаются бесконечно близкие номера
q1Jr8q1, р2 + бр2, q3 + 8q3. Место частицы в этой фиксированной
конфигурации, называемой далее отсчетной и-конфигурацией, задается
вектор-радиусом г- непрерывной и требуемое число раз дифференцируемой
вектор-функцией
r = r (q\q\q3). (1)
Тройку чисел (q1, q2, q3) называют материальными координатами частицы Л.
Например, qs могут быть декартовыми координатами (обозначаемыми as) места
частицы в отсчетной конфигурации среды в системе осей OXYZ
г = Га1 -f i2a2 + i3a3. (2)
Это необязательно, конечно. Ничто не препятствует принять
за qs криволинейные координаты, например, цилиндрические (г, Ф, г),
сферические (91, ft, К). Существенно лишь то, что задается правило
взаимно однозначного сопоставления троек qs и частиц Л.
Движением среды определяется место каждой ее частицы в любой момент
времени t. Оно задается вектор-радиусом
R=-R (qx, р2, q3; t). (3)
Этим определяется актуальная '^-конфигурация - ее гладкое
отображение в момент t на область в евклидором пространстве (c)л
определяемую заданием области изменения материальных координат.
12
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
Необязательно считать, что отсчетная у-конфигурация является одной из
актуальных при фиксированном t (например, t = 0); но часто это во многих
отношениях удобно. Тогда
R (q1, q2, q3; 0)-=r(g\ q'\ q*). (4)
Во введенной выше единой для всех конфигураций декартовой системе OXYZ
R = isx* (q1, q\ i), r^i sa* (q\ q\ q*) *) (5)
и, в частности, при qs-as
xs (a1, a2, a3; 0)--as (s - 1, 2, 3). (6)
Требование однозначности отображений (1) и (3) предполагает разрешимость
систем уравнений
as = as (q1, q2, q3), as = xs (q1, q2, q3\ t) (7)
относительно qk. Известно, что необходимым и достаточным условием этого
является необращение в нуль якобианов
Vg^
das УЗ (а', а2, а3) Vg -= д xs <3 (xl, X2, X3)
dqh -УЗ (Я1, q2, q3)' dqk УЗ (q1, q'z, q3J
(8)
в области задания qs\ они положительны при надлежащем согласовании
нумераций координат.
По известному свойству якобианов их отношение
dxs УЗ (х1, х2, х3) dV_ ^
дак
УЗ (a1, a2, a3) dv
равно отношению элементарного объема dV частиц в актуальной конфигурации
к объему dv тех же частиц в отсчетной конфигурации.
Функцию ? (q1, q2, ф!; t) материальных координат и времени, будь то
скаляр, вектор, тензор, вследствие однозначной разрешимости уравнений
(7), можно рассматривать и как функцию или (ак, t), или (xk, t). Конечно,
вместо проекций г, R на оси можно говорить об их компонентах в любом
векторном базисе и принять обозначение
?fa*; *)--?(г; *), ? (q\ t) = ? (R; /). (10)
