Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Эти функции определяют поля величины ? в у- и соответственно '^-
конфигурациях. Первое представление называют материальным, второе -
пространственным. Часто встречающиеся наименования "лагранжево" для ? (г;
t) и "эйлерово" для lF (R; t) не применяются далее. К- Трусделл
указывает, что они не оправ-
*) Векторный базис ц совпадает со взаимным Ч; в последнем декартовы
координаты будут обозначаться as, xs. Это позволит сохранить правило
суммирования по повторяющимся верхнему и нижнему (немым) индексам.
§2]
ВЕКТОРНЫЕ БАЗИСЫ
13
даны исторически-Эйлер применял и "лагранжево", а Далам-gep_ "эйлерово""
описание.
Материальное описание - слежение за движением фиксированной частицы qs,
при пространственном - наблюдается протекание во времени процесса в
данном месте. "При движении жидкости, когда деформируемая масса приходит
неизвестно откуда и уходит неизвестно куда, предпочтительно
рассматривать, что происходит здесь и теперь. Но, будучи удобным
кинематически, пространственное описание малопригодно при изучении
принципов механики сплошной среды, так как не то, что происходит в
пространстве, а явления в самой среде определяют законы ее поведения" (К.
Трусделл).
В статических задачах отпадает зависимость R от времени /; вместо 'Дф-
здесь говорится об актуальной ^-конфигурации. Отчетливое различение
конфигураций - необходимая предпосылка понимания всех построений механики
сплошной среды.
§ 2. Векторные базисы
Векторные базисы - исходный и взаимный (I, § 1), в отсчетной конфигурации
задаются тройками векторов (у-базисы)
а единичный (метрический) тензор и тензор Леви-Чивита их представлениями
В актуальной конфигурации применяются соответствующие прописные буквы
(г?/эгбазисы)
ком сверху; в ^-базисах следовало бы применить сверху t, но это не будет
делаться, так как обычно нет нужды фиксировать момент времени. Например,
(1)
Е = gi*rV = -= r,r* = rsrs, 6 =
через их компоненты
A',* W ,Ц'к г'-г\ ду г-г, by.
eskt __ rs. х r<) f еш = rs. (гА х г,).
(3)
R" R s' -= GskRk - ~ &kt R* х R (,
Е -= G,VR'R' G-'RSR,- R,R4 - R RS;
e e^fR,R/;Rt =
(5)
Компоненты вектора и тензора в у-базисах снабжаются нули-
0 о
а - asrs - asrs - asRs asRs,
(6)
о
о
14 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
и т. Д. Такая же система обозначений применяется для символов
Кристоффеля, набла-операторов, ковариантного дифференцирования
И' - Г (^Г'+5F"1?)' {/,} - "" [п° "']¦
s] - т (|?+-I?) ¦ {;,}=с" • "¦]•
0 а 0 ая 00
v=rVj' Va=rv^r^VA' (8)
V^RS^' Va=R^^R"R*vA,
так что
^==ri-Ta = var-rJ = Ri-va= VaTR*. (9)
Применяются представления тензоров одновременно в двух конфигурациях,
отсчетной и актуальной, например,
Q. = qamraRm = qamraRm = qmaRmra, (10)
причем для отсчетной конфигурации использованы греческие индексы.
Представления базисных векторов в декартовой системе осей определяются
формулами
- • дат . dqs г, . дхт • г., .mdqs /11ч г = i - г \ --* к -I - R = 1
/72 - (11)
s mdqs ' да"' *s xtodq*' дх(tm)' ' 4
Вектор места R в актуальной конфигурации (г - в отсчетной) иногда
представляют в базисе отсчетной (актуальной) конфигурации:
R = = г'Х,, r=Rip"=RipJt (12)
и применительно к этим представлениям
R< = nV<X*. rt = RsV,p,. (13)
§ 3. Градиенты места
В соответствии с определением базисных векторов и набла-операторов
составляются тензоры-градиенты векторов места частицы в актуальной и
отсчетной конфигурациях
VR = r^ = r'R" Vr = R*|;=R'r, (1)
и транспонированные градиенты места
VRt = HjS' VrT = r,RJ. (2)
j з] ГРАДИЕНТЫ МЕСТА 15
(r) r\yk I
det \R °x 1
(3)
Представления этих тензоров через компоненты в декартовых координатах
имеют вид
VO-Н дЛ Vr = iT - •
К к das ' кдх* '
S, пт . ."дхк т . .с дак
VrT==1*'*aF
и по (1.9) ^ ^
I = л/ - detVr = - = л/~(41
I V g ' u дх* V G' w
о о
Тензор Vr - обратный VR, VR- обратный Vr
/ О \-1 о
Xr = \YRJ , VR=(Vr)~1, (5)
что сразу же следует из их определения (1)
Vr-VR = R*r,-r*R* = R*R, = E.
Из приведенных соотношений следует
dR = dr • VR = VRTdr, dr = dR-Vr = VrTdR. (6)
Например,
о
dr • VR = dqk rh ¦ r5R^ = dqkRk = dR.
Полезны также представления дифференциалов dqs
dqs=Rs-dR = rs-dr. (7)
Из соотношений
? = (8)
О
следуют формулы, связывающие набла-операторы V, V
V() = VR.V(), V ( ) = Vr • V ( ) (9)
в применении к вектору а и к тензору второго ранга Q. В применении к
вектору имеют место и соотношения
VaT = VaT-V°RT, VaT = VaTVrT. (10)
Следствием (2.12) служат формулы
VR = rfriVtxs = rfrsV^, Vr=R%Vfxs=R*R*V*x,. (Н) Очевидны соотношения
VR = RSR^ = Е, Vr = r*r, = E. (12)
16 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
Понятие градиента места постоянно используется во всем дальнейшем. Другое
наименование, применяемое в зарубежной литературе,- градиент деформации
*).
§ 4. Меры деформации Коши - Грина и Альманзи
Деформацию в сплошной среде принято характеризовать изменением длин и
направлений векторов о о
dr = e)dr| = eds, dR = e]dR] = edS (1)
в точке в? (q1, g2, g3), место которой в о- и ^-конфигурациях задается
