Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 8

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 158 >> Следующая

По (22) имеем
R, = VO, VR = rsry O - О, VR- VRT = G = Е. (23)
Мера Коши в жестком перемещении оказалась единичным "ором
е по (2)
тензором; этого следовало ожидать: для любого направления
dsy 0 г 0 0 ° 0 0 ,
) - e-G-e - е-Е-е = е- е = 1
расстояние между частицами среды остается неизменным. Надо Доказать
обратное - условие G = E выполняется только для жесткого перемещения.
Сославшись на теорему Риччи (III.2.17), (Ш.5.11), имеем
VG = VE = 0, VkGst = (VftR,) • Rt + Rf • V*R, = 0.
20 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
Записав еще два соотношения, получающихся из написанного при круговой
перестановке индексов kst, вычтя из суммы двух третье, получим
(V*R,).Rf = 0.
Теперь, приняв декартовы координаты отсчетной конфигурации за
материальные, приходим к системе уравнении
д'1хт дх"
dakdas daf
- 0 (/ = 1,2,3)
с определителем (1.7), равным 1
дх">
да*
\ ' (i | ilet Е 1, (24)
так как рассматривается собственно ортогональное преобразование.
Итак, следствием условия G = E является равенство нулю всех вторых
производных декартовых координат актуальной конфигурации по координатам
отсчетной
д4"1 : о, - = Xsm, xm = Xsmas + cm, R = r-A-j-c. (25)
dasdat das
Такое линейное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную
(декартовых координат в декартовы) называется аффинным; А - постоянный
тензор, осуществляющий это преобразование. Но
VR = A, G - Е = А• Ат, Аг = А"1, А = 0,
так как условие равенства транспонированного тензора обратному определяет
ортогональный тензор. По (24)-это собственноортогональный тензор.
Формулу (25) теперь можно представить и в виде (22), как и требуется.
§ 5. Тензоры, обратные мерам Коши-Грина и Альманзи
Эти тензоры вводятся соотношениями [см. (3.5)]
G~' = (VR• VRT)-' = Vrr- Vr-r,R5-R*r;i - G'*r,r*. 0)
g-1 = (Vr • VrT)_l - VR1 • VR = R;srs-rARft = g"sftR4Rfc. (2)
Они определены - первый в v-, второй в "Т^-базисе, а их контравариантные
компоненты равны контравариантным компонентам единичного тензора Е
соответственно в еУэ%- и и-базисах.
§ 6] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ. МЕРА ГЕНКИ 21
Главные значения, значит и инварианты, тензоров G и g-1, g и G-1 друг
другу равны, поскольку равны главные значения тензоров А-Ат и А1'-А.
Вместе с тем главные значения G и G-1, g и g-1 обратны друг другу, а их
главные направления совпадают- см. (1.9.14), (1.9.15). Тензор g_1, далее
постоянно применяемый, называется мерой Фингера и обозначается
F-g VRT TR. (3)
Представлениям введенных четырех мер деформации теперь придается вид
0 0 0 0 0 0 G = G^e1 -f G2e,e2-f G3txe3, (4)
g==^7eiel + ie2e2+gV6363'
t 0 0 I 0 0 .00
G_1= G7eiel+G7e2e2'+G7e3e3>
F=g-1 = G1e1e1 + G2e2e2 + G3e3e3. (7)
Инварианты этих тензоров определяются формулами I, (G) = /, (F) = Gj + G2
+ G3 = g'*Gsk,
h (G) = /* (F) = GxG2 + G2G3 + G3G4 = = /3 (G) gskG>*,
13 (G) = I3 (F) = GxG2G3 = , (8)
h (g) = U (G-1) = ~ ~+ ~ = = gsk GSk,
1 u2 u3
Mg)' h (G 3) |G| G1G2 ^ GSG3 + G3Gj QgSkGsk'
Были использованы соотношения (1.7.12), (1.9.8).
§ 6. Ортогональные тензоры, сопровождающие деформацию. Левый и правый
тензоры искажений.
Мера деформации Генки
о
Градиент места VR, как всякий неособенный тензор, можно представить его
полярным разложением (I. § 12.1)
VR = U 0 = 0 V, (1)
в котором U, V -определенно-положительные симметричные тензоры, О -
ортогональный тензор, сопровождающий деформацию
22 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
По (1)
VRT = 0Т • U - V • 0Т (2)
и представлениям мер Коши-Грина и Фингера придается вид
G = VR- VRT = U О От U = U2, F = VRT VR = V От О V = V2,
(3)
так что
U-G1'2, V - F,/2; 0 = G-V..VR = VR-F-*/.. (4)
Тензоры U и V называют левой и правой мерами искажений.
Их главные значения по (4.10) равны VGk = vk, а главные нап-
о
равления задаются ортонормированиями триэдрами es и е^. Ортогональный
тензор, осуществляющий совмещение первого триэдра со вторым, по (1.8.12)
может быть представлен выражением
о о
О = е5е\ От = е^е5, (5)
преобразуемым по (4.18) к видам
/0° оо о о N
0 = [ ete1 е8е2 е3е3
Vi/gT VgI__ Vg3/ _
От = (КG^e1 + ]/G2e2e2 -f YG3e3e3) • Vr = F1/2 • Vr = V - Vr. (7)
Представление (6) непосредственно проверяется по (4). Следствием (1) и
(3.5) являются соотношения
Vr = (vr)-1 г=От- U_1= V_1Ot, VrT= U10 = O V-1. (8)
Из них также следует представление (7). Отметим еще применяемые далее
формулы
V = От• U• О, U = 0 V От; F =0T G 0, G = 0 FOT. (9)
Процесс деформирования, описываемый мерой Коши-Грина,
можно характеризовать изменением длин единичных отрезков
по главным направлениям до значений vk и последующим пово-о
ротом триэдра в триэдр главных направлений меры Фингера.
Ортогональные тензоры, сопровождающие деформации, которые здесь
рассмотрены, обозначаются, если требуется их отличить от других
ортогональных тензоров, 0х, Охт.
Тензоры G и g (или F) непосредственно вычисляются через производные
векторов места R, г. Определение же тензоров U, V - извлечение
квадратного корня из тензора - неизбежно
). VR = G-'/2. VR=U-!-VR, (6)
§7] ТЕНЗОРЫ деформации 23
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed