Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
вектор-радиусами г и R. По (3.6)
dR • d R - dS2 = dr • VR • V RT • dr - dr • G • dr = ds2e • G • e, (2)
dr • dr = ds2 ¦= dR • Vr • VrT • dR = dR • g • dR = dS2e • g • e. (3)
Здесь введены в рассмотрение тензоры: мера деформации
Коши - Грина G
VR- VRT = G = rsR^RArA= Gskrsrk (4)
и мера деформации Альманзи g
Vr- VrT = g = RVrfcRA = g,AR*R*. (5)
Мера Коши - Грина определена в д-базисе, мера Альманзи - в ^-базисе; их
ковариантные компоненты равны ковариантным компонентам метрического
тензора Е в и соответственно
в v- базисе. Было бы тяжелой ошибкой отождествлять G или g
с Е. Так, переход к контравариантным компонентам этих тензо-
ров осуществляется по общим правилам пересчета от ковариант-ных компонент
в v- ^-базисах
Qsk = gsmgknGmn, gsk = G^Gkngmn, (6)
и это отнюдь не контравариантные компоненты Е.
Определитель произведения тензоров равен произведению их определителей
[см. (1.6.4)]; поэтому, основываясь на (3.4) и определениях (4) и (5),
имеем
detG=|, det? = f, (7)
тогда как det Е = 1. Напомним, что через G и ^ обозначались определители
ковариантных компонент Е [см. (1.1.9), (1.4.14), (2.5)].
*) Наш термин "деформация" в литературе на английском языке передается
словом strain; deformation применяется в нескольких смыслах.
g4] МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ КОШИ - ГРИНА И АЛЬМАНЗИ {7
Тензоры G и g определенно-положительны, это следует из оп-
, fdsy / dsy ределеннои положительности квадратичных форм (^ ) . [^) -
см. (2), (3). Поэтому положительны их главные значения Gk,
о.-, обозначив через еА, гк-главные направления этих тензоров, имеем по
(1.9.14)
0 0 0 0 0 0 G - Gyy ~i~G2e2e ~hGscsc , -)- ^в2в2 -j- gs(r)s(r)3 (3)
/ о о \ оо
\конечно, es = e,s, es = e,J. Теперь, приняв в (2) и (3) t = tk и
соответственно e = eft, получаем
(S)* = 1^G*=1 + 6*' (^)A = VAgft=l+AA = (l + 6A)'1 (9)
- единичный в отсчетной конфигурации отрезок по главному о
направлению ък меры Коши приобретает длину 1 -j- бк в ^-конфигурации,
тогда как единичный в актуальной конфигурации отрезок на главном
направлении ек меры Альманзи имел в отсчетной конфигурации длину 1 + ЛА;
и можно назвать главными относительными удлинениями
х dSk ¦ dsk . dsh - dSk
к~~~1Гк ' * ~ dSk ¦
Далее используются также обозначения
Gk = v%, пй=1 + бА; g*-== G*1 = *• (10)
Очевидно, что •-1 < бк < оо, 0 < vk < оо - крайним значениям
соответствуют исчезновение длины и бесконечная длина стержня. Принимая
теперь в (2) и (3)
р р _____ rm___ rm R/я R/я /1 t\
т lr-l * = ()
иначе говоря, рассматривая единичные отрезки по направлению базисных
векторов, приходим к формулам
(~-\ ~( гт'^'гт т /~ G,nm ( 4?_\ _ ( V G -]/" |
Us/" \ gnm J ~V gmm' Us;*"I ; г с
(12)
содержащим геометрическое истолкование диагональных компонент мер
деформации G и g.
С целью выяснить геометрическое значение недиагональных компонент,
рассмотрим-^^овде"^Ж%в у- и ^-конфигурациях
' ЛЧ
\S3SSO В
ётп G тг.
18 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
векторы dr', dr" и соответственно dR', dR". По (1), (2), (3) dR' = dr' •
VR = е' dS', dR" = VR* ¦ dr" = e" dS",
dR' • dR" = e' • e" dS' dS" = dr' • VR. VR* • dr" = ds' ds" e' • G • e",
о о
причем, конечно, dr' = e'ds', dr" = e"ds". Получаем
о о /о оо 0 N -•/, о о e' 'e"= e' •G 'e" - v e' 'G ' e'e" 'G'e / e'-G-
e" (13)
и аналогично
e' 'e" ~ ' 'e"= (e'' §'ee ' 6 • e") ~1/z e' • g • e". (14)
о о
Направив e', e" вдоль базисных векторов r,., rf и-конфигура-ции и назвав
<pst угол, образуемый этими векторами в актуальной конфигурации, по (12)
имеем
cosq>st= l/ -~= ¦ G ¦ -=r =. (15)
Tst У ossGtty-gss ygtt yassGn
По (14) аналогично получим
СОЗф°;=_1^, (16)
V gssgtt
причем - угол в и-конфигурации между базисными векторами Rj, R, ^-
конфигурации.
о
Формулы связи между единичными векторами е, е в точке аМ в и- и ^(-
конфигурациях. Имеем
О 0 0 0 0,0 0,
dR = edS = dr-VR = eds-VR, e = e-VR^| = VR*-e||
и аналогично
0 0 jo л с
dr = eds = dR- Vr = edS- Vr, e = e-Vr-^-= Vr*-e-^.
Приходим к соотношениям оо оо
e-yR __ V R т~ e 0 e-yr _ yr*-e
° г °V/2 (0 Г °V/2 ' (e-g-e)I/2 (e-g-e)'/2
e*G*e ) J
о
В частности, если e -единичный вектор на направлении г5, то
МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ КОШИ - ГРИНА И АЛЬМАНЗИ 19
- иначе говоря, вектор в левой части (17)х - единичный вектор
о
на направлении R/, конечно, е слева в (17)2-единичный век-
о
тор на Гу. В частности, для главных направлений еА, ек мер G и g
ч=тк' (18)
По (3.11), (4) и (5) выражениям мер деформации G и g можно придать также
вид
G = VR.VRT = rWy, = V,xftV,x*. (19)
g = Vr-VrT = RsR1VJpfcV,p^, gst = VyPAVtpft. (20)
В частности, в декартовой системе осей
s=?">№, g">=g~;.
(21)
Через q<mn> обозначаются компоненты Q в декартовой системе, если это
неясно по тексту.
Перемещение сплошной среды называется жестким, если преобразование
отсчетной конфигурации в актуальную задается законом перемещения
абсолютно твердого тела
R = R0 + (г-г0) -О. (22)
Здесь О - собственно ортогональный тензор, один и тот же для всех частиц
среды, R0, г0 -векторы места полюса б, u0 = R0 - г0- его перемещение.
