Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
^(S)|p') = |p' + S>, (1.135)
Р (р') 10)р = ехр (1^2) 10>р = | />') (1.136)
или
р<0 | Р+ (/>') = р<01 ехр (=^-) = <р' |. (1.137)
Аналогично (1.126), имеем
Р-1 РР = р + ?. (1.138)
Собственные кет-векторы |р'> оператора наблюдаемой величины р
удовлетворяют соотношениям ортонормировки и полноты:
Н-со
<Р' I Р"У = б (р' - р"), j | р'> dp' </>' | = I. (1.139)
-оо
Таким образом, мы решили задачу на собственные значения как для оператора
q, так и для оператора р. Обе совокупности кет-векторов |q'} и |р'>
являются полными и ортонормированными системами, и поэтому любая из этих
систем собственных кет-векторов может быть использована в качестве
системы базисных векторов для представления любого состояния системы в
кет-простраыстве.
Как ясно из предыдущего раздела, для того чтобы перейти от одного
представления к другому, необходимо знать функцию преобразования вида
^ (р, q) = <р'\я'> = W\p'>*. (1.140)
В данном случае эта функция может быть очень просто вычислена с помощью
операторов сдвига Q и Р. В силу (1.131) имеем
<p'\q"> = <Р'|ехр(~ Пг)|°>?" (1.141)
1.11] КВАНТОВАНИЕ. ПРИМЕР НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 71
но согласно (1.71)
<p'\F(p) = F(p')<.p'\, (1.142)
так что
<р'|?'> = ехр(-^)<р'|0>,. (1.143)
Благодаря соотношению (1.137) и тому, что (см. формулу (1.71))
РШ> = F (Я')\9'>, (1-144)
соотношение (1.143) может быть записано в виде
<р' г ,'> = "" (_ 1^)^ <о 1 ехр (- i^-) (о>, =
= ехр (- *¦??¦) р<010>д = <?' | р')*. (1.145)
Но величина р<0|0)д есть постоянная, которую можно найти следующим
образом: с помощью соотношений ортонормировки для векторов |р'} (см.
(1.139)) и соотношений полноты для векторов )д') (см. (1.129)) можно
получить
+ О0
j <p'\q'>dq'(q'\p">=b(p'-p''). (1.146)
-о(c)
Если выражение (1.145) подставить в последнее соотношение, то найдем, что
+ оо
|р<°|°>?|2$ ехР Р (Р %'Р ] ] d(l' = 6(Р' ~ Р")-
- С(c)
При соответствующем изменении обозначений с помощью (1.60Ь) находим, что
интеграл в последнем соотношении равен 2л7г6 (р1-р"), так что постоянная
|;,<0|0)5|2 оказывается равной
1"<°1°>"Г " ИГ- (Ы47)
Фазу величины p<0j0>g можно выбрать так, чтобы S {Р\ ?') = <Р' I д'У =
ехр (- l^f) = <?' | р')*. (1.148)
72
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. X
Мы получили в явном виде функцию преобразования, которая рассматривалась
в разделе 1.10.
В предыдущем разделе было показано, что оператор преобразуется из одного
представления в другое с помощью соотношения (1.111). Для того чтобы
применить эту формулу к оператору А в р- или ^-представлении, будем
считать, что операторам L и М с собственными значениями V (или I") и т'
(или т") соответствуют операторы q и р с собственными значениями q (или
q") и р' (или р"). Так как в данном случае собственные значения
операторов q и р непрерывны, то суммирование в (1.111) нужно заменить
интегрированием. В результате получим + 00
<Я' \А | q") = j dp'dp" W | р'У <p'\A\ p") <p" | q").
-oo
Если теперь воспользоваться соотношением (1.148), то последнее выражение
можно преобразовать к виду
+ 00
W I Л \q") = 2Тй 5) dP'dP" ехР l(pq Г Р q }] (Р' I А I
- ОО
(1.149)
Рассмотрим теперь конкретный случай А = р. В силу условий (1.139) и
(1.121) имеем
<р'\р\р"> = (Р' - р")- (1.150)
Если подставить формулу (1.150) в соотношение (1.149) и использовать для
вычисления интеграла по р" выражение (1.57), то нетрудно получить
1.Ш КВАНТОВАНИЕ. ПРИМЕР НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 73
Предполагается, что интегралы по q и q" можно дифференцировать под знаком
интеграла.
Благодаря условию (1.60Ь) последнее выражение можно записать в виде
W |рк"> = - о = - -TWb^r - ?")• (1Л52)
Однако в силу соотношения (1.128) равенство (1.152) может быть записано
также в другом виде:
W IР I 7") = 4 W <"' I ?'> = - Т ^ <?' I ?"> • (1 -153)
Эта формула показывает, каким образом преобразуется оператор р при
переходе из р-представления к д-представ-лению.
Этот результат можно легко обобщить на случай функции F от оператора р. В
этом случае соотношение (1.153) заменяется следующим:
W\F{p)\q") = ^(447)<9'|ГУ">- (1Л54)
Если рассматривается произвольная функция V от оператора q, то в силу
соотношения (1.144) имеем
<q\V{q)\q"y = V (q'Kq |g">. (1.155)
Совершенно аналогично можно показать, каким образом преобразуется
оператор q при переходе к р-предста-влению. В этом случае имеет место
формула, аналогичная формуле (1.153):
(р' | Ч I Р"У - - \Р"> = + ~Г э]р(Р' I Р"У- (1-156)
В качестве другого примера применения приведенной выше теории покажем,
каким образом связаны между собой представители произвольного вектора
состояния |ф> в двух различных представлениях. Эта связь определяется
соотношением (1.107). Положив, как и раньше, L = q и М = р, в силу
непрерывности спектра собственных значений операторов р и q мы должны в
формуле (1.107) заменить суммирование интегрированием. Тогда получим
74
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИГОЧЧ А
[ГЛ. 1
выражения
+ оо
Ф (?') = W Н}> = 1 <?' I р'> dPr <р'№> =
-со
+ СО
ехр (!$-') <р'Ц>>, (1.157)
-со + оо
Ф (/>')= <Р'| i|J>-=-у== J dq' ехр (- W | ф>, (1-158)
