Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
неконтролируемым образом в одно
1.12] ИЗМЕРЕНИЕ НАБЛЮДАЕМЫХ ВЕЛИЧИН
77
из ее собственных состояний. Так как возмущение, вызываемое
взаимодействием физической системы с устройством, используемым для
наблюдения, будет нарушать ту причинную связь между измеряемой величиной
и состоянием системы, которая имела место до измерения, то мы не можем
точно предсказать, какое из собственных значений будет получено в
результате такого измерения. Поэтому мы введем еще одно предположение,
которое позволяет найти некоторую вероятность получения определенного
собственного значения величины L в процессе измерения, производимого над
системой, находящейся в произвольном состоянии |ф>.
Мы будем предполагать, что если наблюдаемая величина L измеряется
бесконечное число раз (в действительности- большое число раз) для
системы, которая каждый раз при измерении находится в одном и том же
состоянии |ф), и результаты измерений усредняются, то получаемое нами
среднее значение <L> величины L равно
Предположение (1.163) можно обобщить на случай, когда нужно определить
среднее значение некоторой функции / наблюдаемой величины L.
Соответствующая формула принимает вид
Квантовые средние значения соответствующих величин, приведенные в
формулах (1.163) и (1.164), являются некоторыми ансамблями средних
значений, т. е. предполагается, что существует бесконечное число
тождественных невзаимодействующих квантовых систем, которые приготовлены
одинаковым образом. Каждая такая система называется элементом ансамбля.
Величины L или / (L) измеряются на каждом элементе ансамбля, и полученные
результаты измерений усредняются. Средние значения при этом определяются
по формулам (1.163) и (1.164). Необходимо все время помнить, что
квантовое среднее является средним по ансамблю элементов каждый из
которых находится в состоянии |ф;.
/ т \ = 1LI •Ч"
4 ' <1р|Ф> '
(1.163)
(1.164)
78
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Если собственные кет-векторы |/> наблюдаемой величины L образуют полную
ортонормированную систему, то в случае дискретного спектра имеем
Если умножить обе стороны этого равенства на / (L) слева, то получим
Если мы при этом выберем такую функцию / (L), что f(l) = Ьц', то
последнее равенство будет приведено к виду
Уравнение (1.45) является как раз примером разложения вида (1.165).
Согласно соотношению (1.164) среднее значение функции f{L), определенной
в (1.166), равно вероятности Ру найти значение V величины L при
проведении измерения над системой, находящейся в состоянии |ф>. Поэтому
благодаря соотношениям (1.166) и (1.8) имеем
pv = <ф |/(/,)№> - <ФЮ<Г|ф> = 1<ПФ>12, (1-167)
где предполагается, что <ф |ф> = 1. Волновая функция (j,' |oj)> = ф (Г) в
Z-представлении называется амплитудой вероятности, а величина |ф (Т)12
равна вероятности получения величины V при однократном измерении величины
L, производимом над системой, находящейся в произвольном состоянии |ф>.
Рассмотрим теперь по аналогии с приведенным выше примером случай, когда L
= q. Этот оператор имеет непрерывный спектр собственных значений от - оо
до + со. Так как q\q') = q'\q'^> и
/(?)-S/(0 !*><*>•
(1.165)
№ = Ю <Х |.
(1.166)
W\q"> = б (?' - ?"),
(1.168а)
+ ОО
7 = J \cf )dq''<q'
(1.168b)
1.12]
ИЗМЕРЕНИЕ НАБЛЮДАЕМЫХ ВЕЛИЧИН
79
то последнее равенство можно умножить слева на оператор / (д) и получить
выражение
+ CW
/(7)= \f(q")\q">dq"<q"\, (1.169)
- 00
аналогичное соотношению (1.165). В частности, определим функцию / (д")
следующим образом:
/ (д") = 1, если д < д" < д + dg ,
/ (д") - 0 в остальных случаях. (1.170)
Тогда оператор / (д) имеет вид
q'+dq'
/(?)= $ (1-171)
q'
Вероятность Pq> dg того, что при измерении наблюдаемой величины д для
системы, находящейся в состоянии |ф>, будут получаться собственные
значения между д' и д' + dg', равна среднему значению функции / (д),
приведенной в соотношении (1.171),
q'+dq'
Pq'dg' = <ф|/(7)|ф> = {^\q'')>dg" {д"\^у =
- I W I Ф> I2 dg'. (1.172)
И в этом случае волновая функция (д' |ф> = ф {д) в 17-
представлении есть амплитуда вероятности, а величина |ф {д) I'^dg' есть
вероятность того, что измерение величины д, когда система находится в
состоянии |ф>, даст собственное значение, заключенное между д' и д + dg'.
Для функции (1'\т'У - (т' Ю*, осуществляющей преобразование от Z-
представления к М-представлепию, можно ввести два вероятностных
истолкования. Для простоты будем предполагать, что системы собственных
значений I' и т! дискретны. Тогда, с одной стороны, величина |</' |лг')|2
определяет вероятность получения значения V при измерении величины L,
производимом над системой, находящейся в состоянии |т'}. С другой
стороны, та же величина определяет вероятность получения значения т!
80
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. [
при измерении величины М, производимом над системой, находящейся в
состоянии |О- Эти вероятности равны. Величина (I' \ т'у может быть
названа волновой функцией для наблюдаемой величины М в ^-представлении, а
