Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Числа <Г 14 ) l"y (или <g' 14 j g">) являются функциями величин V и I"
(или g' и g") (см. определение линейного оператора, приведенное в разделе
1.4). Число <Г |4| Z") мы можем записать в виде матрицы в Z-
представлепии:
<Г 14 | 1") = 4п", (1.89)
а число <д' |4| д") - в виде матрицы в д-представлепии (непрерывном):
<g' |4| д"> =4 (g'; д"). (1.90)
В частности, если А - L (или д), то последние матричные элементы в силу
соотношений (1.77) и (1.78) приводятся к следующим выражениям:
<Г | L | Г> = Гбvr, <д' |д[д'У = д'б (д' - д"), (1.91)
так что величины L (или д) диагональны в собственном
58
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
представлении. Таким образом, соотношения (1.89) определяют оператор А в
представлении, в котором матрица L диагональиа, а соотношения (1.90)
определяют оператор А в представлении, в котором диагоиальна матрица q.
Если снова возвратиться к примеру из раздела 1.6, то увидим, что
соотношение (1.37) является специальным случаем соотношения (1.91), т. е.
1-1> <+ 1К -1> 1 0
1KI 1-1> <- l\0z -1>. __ 0 -
и матрица [crz] диагоиальна. Последнее представление называется сг .j-
иредставлением.
Ранее уже несколько раз указывалось, что алгебра one раторов совпадает с
алгеброй матриц, и поэтому неудивительно, что операторы могут быть
представлены матрицами. Аналогично этому алгебра кет- и бра-векторов
оказывается той же самой, что и алгебра одиостолбцовых или однострочных
матриц.
Мы ввели систему базисных векторов с помощью собственных векторов
определенного оператора L (или q). Однако последнее совершенно не
обязательно, ибо система базисных векторов может быть введена
произвольным образом; при любом выборе базиса кет-векторы выражаются с
помощью матричных столбцов, а операторы - с помощью квадратных матриц.
При этом базисные векторы всегда выбираются ортонормированными в смысле
(1.78). В следующем разделе мы покажем, каким образом происходит переход
от одной системы базисных векторов к другой.
1.10. Функции преобразования. Изменение представления
Выбор наблюдаемой величины для определения базисных векторов, как
правило, не является единственным. Для примера можно привести систему с
частицей, движущейся в одном измерении, для которой подходящей
наблюдаемой величиной для представления состояния векторов и операторов в
матричной форме мог бы служить или импульс частицы р, или ее координата
q. При вычислениях в некоторых случаях одно представление может оказаться
более удобным, чем другое. В этом разделе мы рассмогрим,
1.10]
ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
59
как изменяются векторы состоянии и операторы при замене одного
представления другим. В следующем разделе мы подробно рассмотрим
соответствующий пример.
Задача о переходе от одного представления к другому целиком аналогична
задаче о повороте координатных осей в обычной геометрии. Покажем это на
примере двумерного поворота. Пусть оси х и у составляют прямоугольную
систему координат, а оси х' и у' - систему координат, повернутую
относительно системы х, у против часовой стрелки на угол й. Тогда мы
имеем следующие уравнения преобразования осей координат:
х' = cos й-ж -f sin й-г/, у
sin й-ж + cos й-г/ (1.93)
или, в матричных обозначениях,
cos й sin й sin й cos й Детерминант матрицы преобразования
cos й sin й
1
У\
X
_У_
К
- sin й cos й
(1.94)
(1.95)
равен единице , а произведение матрицы К на транспонированную матрицу К
равно единичной матрице:
1
К К = К К = I
о
(1.96)
(транспонированной называется такая матрица, в которой строки и столбцы
переставлены местами).
Из равенства (1.96) можно заключить, что
К = к-
(1.97)
где матрица К~г является матрицей, обратной по отношению к матрице К.
Если R = К"1 и det К =1,то преобразование координат от х', у' к х, у
является преобразованием вращения. Для того чтобы перейти к
преобразованию, обратному преобразованию (1.94), мы воспользуемся
соотношением (1.97) и в результате получим
cos й - sin й
' X " х' '
-
_ У . _ у'.
sin й
cos й
У
(1.98)
60
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Аналогично, компоненты произвольного вектора А в системе координат х', у'
связаны с компонентами этого вектора в системе координат х, у, с помощью
соотношения
(1.99)
(1.100)
или
А* Ау' , = К Ах Ау
Ах Ау = К ~ Ах. .Ау.
Эти компоненты показаны на рис. 3.
Переход от одного представления к другому в кет, (или бра-) пространстве
в принципе ничуть не сложнее-
чем преобразование компонент вектора от одной системы координат к другой
в приведенном выше примере. Предположим, что мы имеем две наблюдаемые
величины L и М, которые удовлетворяют следующим уравнениям для
собственных значений:
Рис. 3. Компоненты вектора в двух системах координат, повернутых
относительно друг друга.
(l'\L =V <Z'|,
<m'|M = m' (m\. (I-101)
Величины V и m' одновременно могут пробегать или дискретный, или
непрерывный ряд значений, либо набор величин V имеет дискретный ряд
значений, а набор т' - непрерывный (и наоборот). Возможна также ситуация,
