Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
получилось большое значение как раз в соответствующей области Aq. Вне
этой области плоские волны заметно ослабляют друг друга при
интерференции, так что величина |ф(?,)|2 становится незначительной. Таким
образом, функция ф (q') представляет собой волновой пакет и соотношение
(1.195) определяет волновой пакет с минимальной неопределенностью в
фиксированный момент времени. С помощью волнового пакета можно
локализовать частицу в ограниченных областях импульсного
1.14] ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ
89
и координатного пространства, так что в результате совокупность волн с
различными амплитудами и частотами проявляет свойства, подобные свойствам
частицы.
Следует отметить, что полученные в этом разделе соотношения не зависят от
того, в каком силовом поле находится частица.
1.14. Динамическое поведение квантовой системы
Формулировка квантовой механики еще пе является достаточно законченной,
ибо мы не определили динамическое поведение системы, т. е. не установили,
каким образом состояние системы изменяется во времени. До настоящего
момента теория была развита лишь для некоторого фиксированного момента
времени.
В отсутствие возмущений, обусловленных каким-либо измерением,
производимым над системой, развитие системы во времени носит всецело
причинный характер. Причинное развитие системы во времени может быть
нарушено только благодаря возмущениям, которые вызываются взаимодействием
измерительного прибора с этой системой.
Для того чтобы определить, каким образом происходит развитие квантовой
системы во времени, мы постулируем наличие у системы гамильтониана Н и
требуем, чтобы произвольный кет-вектор состояния системы |ф(?)>
подчинялся уравнению Шредингера
где оператор Н рассматривается как оператор некоторой наблюдаемой
величины в нашей системе и, следовательно, должен быть эрмитовым.
При этом могут иметь место два случая. В первом случае система
консервативна и оператор Н не зависит явно от времени. Тогда мы можем
формально проинтегрировать уравнение (1.199) и получить
*&-!г Ж0> =
(1.199)
|ф (О) = U (t, г0)1Ф(*о)>.
(1.200)
где
U (t, t0) = ехр [ - l-~h- *-] ,
(1.201)
90 ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА [ГЛ. I
а вектор | ф (<0)> изображает состояние системы в момент времени t0.
Полученное решение можно проверить прямым дифференцированием равенства
(1.200) с последующей подстановкой в исходное уравнение (1.199).
Производная оператора U (t, t0) по t определяется точно так же, как и
производная от обычных функций.
Из выражения (1.201) следует, что оператор U удовлетворяет следующему
уравнению:
ih^- = HU. (1.202)
Согласно же равенству (1.200) оператор U должен удовлетворять следующему
начальному условию:
U (t0, t0) = I. (1.203)
Так как оператор Н эрмитов, то из выражения (1.201)
следует, что имеет место соотношение
U+ (t, t0) = ехр [-(-й-0)] = U-1 (t, t0), (1.204)
которое показывает, что оператор U является и унитарным оператором.
Следовательно, можно утверждать, что состояние системы в момент времени t
получается вполне причинным образом из состояния системы в момент времени
t0 с помощью некоторого унитарного преобразования. Основываясь на
геометрическом представлении векторов состояний, мы можем представить
преобразование (1.200) в виде некоторого обобщенного непрерывного
поворота вектора состояния в кет-пространстве от некоторого начального
направления в момент времени t0 к конечному направлению, соответствующему
состоянию системы в момент времени t. Так как = ?/+, то норма вектора
|ф(?)> равна
<ф (t) | ф (*)> = <ф (*<>) I U+ (t, t0) U (t, t0) | ф (*")> =
= <Ф(*о)1Ф(0> (1-205)
и не изменяется со временем.
Во втором случае гамильтониан системы явно зависит от времени. Теперь
система неконсервативна и находится под воздействием некоторой внешней
силы, зависящей от времени. Однако и в этом случае гамильтониан является
1.14] ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ 91
наблюдаемой величиной, а следовательно, он эрмитов. Мы постулируем, что
остается справедливым уравнение Шредингера (1.199), но с гамильтонианом Н
- 11 (t), а также и то, что решение этого уравнения имеет вид (1.200) с
оператором U, удовлетворяющим соотношениям
(1.202) и (1.203). Однако соотношение (1.201) уже несправедливо, и
поэтому мы пока не можем утверждать, что оператор U унитарен. Докажем,
что если справедливо соотношение (1.203), то оператор U унитарен.
Доказательство будем вести следующим образом. Запишем соотношение,
комплексно сопряженное соотношению (1.202) (при условии, что Н = Н+)\
-ih^-^U+H. (1.206)
Если мы теперь умножим обе части уравнения (1.202) слева на Е/+, а обе
части (1.206) - справа па U и вычтем одно из другого, то получим
т U+ U = ih и + inu+ = 0.
at at at
Отсюда видно, что величина U+ U остается постоянной с течением времени.
Для того чтобы удовлетворить начальному условию (1.203), мы положим эту
постоянную равной единице:
U+(t, t0) U(t, t0) = 1. (1.207)
С другой стороны, если мы умножим обе части уравнения
