Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 24

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 122 >> Следующая

следующим образом:
dF(p,q) 0 ,
-=1(tm) ^ (Р+8'Ч)'
где е - число, т. о. е коммутирует с р и q. Этот вопрос более детально
обсуждается в гл. III.
l.iil КВАНТОВАНИЕ. ПРИМЕР НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 67
Теперь мы вполне подготовлены к тому, чтобы решить две задачи на
собственные значения*)
р\р'У = р'\р'У, q\q'y -= q\q'y ' (1.121)
для импульса р и координаты q. Необходимо найти собственные значения и
собственные векторы соответствующих операторов. Для решения этих задач мы
введем два оператора Дирака, называемые операторами сдвига. Происхождение
их названия станет ясно позднее.
Рассмотрим оператор [2]
0(|) = ехР (-¦?-), (1-122)
где ? - произвольный параметр. В силу эрмитовости оператора р
<^(E) = exp(ij?) = e-4E), (1.123)
так что если параметр ? веществен, то оператор Q унитарен. Если мы
используем теперь соотношение (1.119а), то получим
[?.<?] = = ?#>
откуда следует:
4Q = Qq + IQ- (1.124)
Теперь, если мы умножим обе стороны этого равенства справа на собственный
кет-вектор оператора q с собственным значением q , то с помощью уравнений
(1.121) получим
Я {<?Ю} - (?' + 5) {<?!?'>}. (1.125)
Это уравнение говорит о том, что если вектор \q'y является собственным
кет-вектором оператора q с собственным
значением q', то вектор Q\q'y также является собственным кет-вектором
того же оператора q, но с собственным значением q' + §. Однако в силу
теоремы 1 раздела 1.6 все собственные значения оператора q должны быть
веще-
*) В дальнейшем в этой главе собственные значения обозначаются штрихами и
являются обычными числами, а соответствующие им операторы не имеют
штрихов. (Прим. перев.)
68
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. 1
ственны, так как оператор q эрмитов. Поэтому число § является
вещественным числом, что уже и было предположено при выводе равенства
(1.123); в остальном это число пока совершенно произвольно. Это значит,
что собственное значение q' + | может принимать любое значение от - оо до
оо. Иными словами, это означает, что собственные значения q' оператора q
образуют непрерывный спектр.
Высказанные выше соображения, а также соотношение (1.125) оправдывают
название оператора Q как оператора сдвига, ибо действие этого оператора
на состояние |q'y с собственным значением q' переводит последнее в
состояние с собственным значением q' + ?. Если мы умножим обе части
равенства (1.124) слева на оператор Q-1, то получим равенство
Q-1 q Q = q + S, (1-126)
которое показывает, что оператор Q смещает оператор q на величину ?.
Норма вектора Q\q") в силу условия (1.123) равна
<?'I<?W> = W>, (1.127)
так что вектор Q\q'y может быть равен пулю только в том случае, если
вектор |q'y - 0. Этот случай тривиален.
В силу непрерывности чисел q' мы можем нормировать собственные кет-
векторы таким образом, чтобы они удовлетворяли соотношению ортонормировки
(1.78):
W\q"> = б (q'-q"), (1.128)
а так как величина q, кроме того, является наблюдаемой величиной, то
имеет место соотношение полноты (1.79):
+ СО
j \q'>dq'W\= I. (1.129)
-со
Таким образом, мы показали, что вектор <?(?)|?'> является собственным
кет-вектором оператора наблюдаемой величины q с собственным значением
q,Jr Это значит, что
<?(?)Ю = Ф' + ?>,
1.11] КВАНТОВАНИЕ. ПРИМЕР НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 69
где с - постоянная, которая может зависеть как от q', так и от D Однако
мы знаем, что
<q'\Q+Q\q"> = с* (?', I) С (q", I) w\q">-
В этом равенстве в силу соотношений (1.128) и (1.123) обе стороны
обращаются в нуль, если q' =j= q". Отсюда мы заключаем, что когда q - q",
то |с {q , ?) |2 = 1, т. е. абсолютное значение постоянной с равно
единице. Однако постоянная с может зависеть еще от произвольной фазы, не
имеющей физического смысла. Мы выберем эту фазу так, чтобы с = 1. Тогда
ехр (- | q'y = Q (I) | g'> = \q' + ?>. (1.130)
В частности, если мы положим в последнем равенстве q = = 0, то получим
0(?)|О>в = ID,
где индекс q показывает, что вектор |0>9 является собственным кет-
вектором оператора q с собственным значением, равным нулю. Если мы теперь
в последнем соотношении положим число ? = q', то соотношение примет вид
ехр ( - I**.) | 0>, = Q (q') | 0), = | q'}. (1.131)
Мы видим, что состояние с собственным значением q может быть получено из
состояния с собственным значением q = 0 с помощью оператора сдвига Q
{q').
Легко найти выражение, комплексно сопряженное выражению (1.130):
<?' I Q+(D = <?' I ехР (^-) = <?' + ? |, (1.132)
откуда
q<0\Q+(q') = (д'\. (1.133)
Таким образом, все собственные кет-векторы (или собственные бра-векторы)
могут быть получены из одного собственного кет-вектора (или собственного
бра-вектора). Этого вполне достаточно для определения всех свойств
собственных кет- (или бра-) векторов, необходимых для построения теории.
70
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ 1
Введем теперь другой унитарный оператор сдвига:
Р(|) = ех р(^-). (1.134)
Нетрудно показать, что собственные значения оператора импульса р могут
принимать любые значепия от -оо до + оо. Кроме того, можно показать, что
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed