Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
в кет- (или бра-) пространстве при переходе от одного представления в
этом пространстве к другому. В следующем разделе мы поясним эту схему на
простом примере.
64
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
1.11. Квантование. Пример непрерывного спектра
Когда производится однократное измерение некоторой наблюдаемой величины,
то в результате этого измерения получается одно из собственных значений
этой величины. Поэтому для того, чтобы связать теорию с экспериментом,
весьма важно уметь решать задачи на собственные значения. До настоящего
момента мы решили только одну такую задачу в разделе 1.6, где оператор
наблюдаемой величины удовлетворял алгебраическому уравнению а\ = I¦ В
этом случае гильбертово пространство состояло только из двух собственных
векторов и спектр собственных значений имел только два дискретных
значения: +1 и -1. В данном разделе мы решим еще одну такую задачу на
собственные значения, спектр которых является непрерывным. В этом простом
примере будет рассматриваться такая квантовомеханическая система, которая
имеет классический аналог.
Рассмотрим снова частицу массы т, движущуюся в одном измерении в поле
внешних сил. В классической механике эта система может быть полностью
описана путем задания координаты и импульса частицы в каждой точке
пространства и в каждый момент времени. Если мы точно определим
координату и импульс частицы в определенный момент времени, то мы точно
определим классическое состояние этой системы в данный момент времени.
При рассмотрении этой системы с точки зрения квантовой механики мы,
согласно развитым нами представлениям, связываем с каждой из динамических
переменных (в силу того, что они являются наблюдаемыми величинами)
некоторый линейный эрмитов оператор; для координаты и импульса частицы
будем обозначать эрмитовы операторы соответственно q и р. Эти операторы,
как операторы наблюдаемых величин, удовлетворяют условию
Р = Р+, Я = 9+- (1.115)
Классический гамильтониан системы Н также является наблюдаемой величиной,
и поэтому ему соответствует в квантовой механике эрмитов оператор:
H = ±P* + V(g) = H+, (1.116)
который выражается через операторы р и q.
1.11] КВАНТОВАНИЕ. ПРИМЕР НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 65
После перечисления всех операторов, необходимых для описания физической
системы, следует установить вид алгебры, которой подчиняются эти
операторы. Установление вида алгебры требует введения в теорию
дополнительного постулата в виде коммутационных соотношений, которым
подчиняются соответствующие операторы. Для операторов р и q эти
соотношения постулируются в виде
[q, q] = 0, [р, р] = О,
(1.117)
[д, pi = (яр - рд) = m
(h-постоянная Планка, деленная на 2п). Так как в классике величины q и р
коммутируют, то квантовая и классическая системы отличаются друг от друга
соотношениями коммутации для этих величин. Отсюда следует, что когда
операторы наблюдаемых величин q и р удовлетворяют соотношениям коммутации
(1.117), соответствующая классическая система "квантуется".
Оправданием для введения квантового постулата в виде соотношений
коммутации типа (1.117) является замечательное согласие между теорией и
экспериментом. По-видимому, указанный выше постулат является наиболее
глубоким и фундаментальным постулатом теории.
Классическая механика содержится в квантовой механике в виде предельного
случая при h 0, ибо при этом величины q и р коммутируют. Это утверждение
называется принципом соответствия.
В том случае, когда операторы q и р подчиняются условиям (1.117),
говорят, что они подчиняются некоммутативной алгебре.
Прежде чем переходить к дальнейшему изложению теории, выведем несколько
полезных соотношений для некоммутирующих операторов. Если I - целое
число, то из соотношений (1.117) с помощью математической индукции
следует, что
[g,Pl] = Шр1"1 =ihJj-Pl> (1.118)
[р. д1] = - шя1^ = - ih4^ я1
(см. задачу 1.1 в конце главы).
66
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Отсюда видно, что если F (р) и G (д) являются функциями, которые могут
быть разложены в степенные ряды соответственно по р и д, то тогда
[q,F(p)] = md^, (1.119а)
lp,G(g)] = -ih^. (1.119b)
Мы постулируем, что эти соотношения справедливы
даже в том случае, когда функции F и G не могут быть
разложены в степенные ряды.
Если идти еще дальше, то можно обобщить все эти коммутационные
соотношения и на тот случай, когда функция F является функцией операторов
р и q одновременно, т. е. F(p, q). Тогда получим*)
lg,F(p,q)]^ihd^, (1.120а)
{p,F(p,q)) = -md-^. (1.120b)
При использовании соотношений (1.120) нужно быть крайне осторожным, ибо
величины р и q не коммутируют друг с другом. Например, если F(p, q) -
pqp, то это не значит, что F (р, q) " ¦ p2q. Применение в данном случае
соотношений (1.120) дает
[q, pqp] = m-^-pqp = т ipq + qp)-
Другими словами, при использовании соотношений (1.120) всегда должен
сохраняться порядок сомножителей в функции F (р, q).
*) Производные в формулах (1.118) - (1.120Ь) более строго определяются
