Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы доказать неравенство (1.177), введем новые переменные а и
Р:
а = А - (А), р = Я - <В>. (1.179)
*) Вообще говоря, может существовать несколько состояний | ijj>, в
которых <ijj | С | ijj> = 0. В каждом из этих состояний величины А и В
могут быть одновременно измерены, хотя [А, В] - = iC ф 0. Один из таких
случаев встретится нам в дальнейшем при изучении углового момента.
Действительно, если Lx, Ly и Lz - компоненты углового момента L, то они
удовлетворяют соотношению [Lx, Ly] = ihLz. В то же время все эти три
компоненты коммутируют с оператором квадрата полного момента L2. Тогда
для состояния, в котором Lz | г|)> = 0, величины Lx \ г|>> и Ly | отличны
от нуля и могут быть одновременно измерены.
1.13] ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА 83
Так как величины <А> и <В) являются обыкновенными числами, то из (1.176)
следует, что операторы аир удовлетворяют условию коммутации
[a, pi = iС. (1.180)
Поскольку (а) = <Р> = 0, то в силу (1.179) имеем
<(Да)2> = <(ДА)2> = <а2>, <(Др)2> = <(Д В)2) = <р2>.
(1.181)
Произведение этих величин равно
<(Да)2><(Др)2> = <ф |а2 |ф><фГ-|ф>. (1.182)
Теперь воспользуемся неравенством Шварца, которое имеет вид
Кф 1х>12 < <Ф 1ф> <Х 1х>. (1.183)
где 1ф) и |х) - два произвольных кет-вектора, причем равенство имеет
место тогда и только тогда, когда
1ф> = с |х>, (1.184)
где с - постоянная (см. задачу 1.4 в конце главы). Так как величины А и В
являются наблюдаемыми величинами, то из этого следует, что а - а+ и Р - -
Р+. Если в соотношении (1.183) принять |х> ~ Р |ф) и |ф) = а |ф>, то
выражение (1.182) примет вид неравенства
<(Да)2><(ДР)2> > 1ЧФ |"Р |ф> |2. (1.185)
С помощью соотношения (1.180) мы можем написать
ар = \ (аР + Ра) + \ (ар - ра) = -L (ар + ра) + С.
Если подставить это выражение в неравенство (1.185), то получится
<(Да)2> <(ДР)2> > ±1 I (аР + Р°0I Ф> + * <Ч> Iс I I2-
(1.186)
Операторы ар + Ра и С эрмитовы *), а поэтому числа <ф |(ар + Р") |ф> и
<С> = <1|з |С |Т> вещественны.
*) Последнее нетрудно показать, используя эрмитовость опера" торов А и В
и условия коммутации (1.176), (1.180). (Прим. переев
84
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Учитывая это и используя (1.181), выражение (1.186) можно записать в виде
<(Да)2> <(Др)2> = <(ДЛ)2> <(Д7?)2> > ± | <с> |2.
Это и есть принцип неопределенности (1.177).
В силу соотношений (1.184) и (1.186) знак равенства в соотношении
неопределенностей (1.177) имеет место только тогда, когда
а |тр> = ф |ф>, (1.187а)
<г)з |(сф + Ра) |ф> = О, (1.187Ь)
где с - постоянная.
Если кет-вектор |ф) удовлетворяет условиям (1.187), то произведение
неопределенностей АА АВ = V2 KOI оказывается минимальным.
В качестве специального примера применения полученных формул мы
рассмотрим частицу в одном измерении и положим А = q и5 = р. В силу
формул (1.117) коммутатор [q, р] = Hi, и поэтому соотношение (1.177)
принимает в этом случае вид
(1.188)
Если мы, например, измеряем импульс р системы, находящейся в
собственном состоянии р, т. е. | ф> = |р'у,
то тогда <р2> = <р>2 и <(Др)2> = 0. В этом случае неравенство (1.188)
означает, что среднеквадратичная флуктуация, возникающая при измерении
одновременно с импульсом р и координаты q, оказывается бесконечной. Иными
словами, если мы несколько раз подряд измеряем у частицы импульс р и
всегда получаем одно и то же его значение р',то мы при таком измерении
ничего не знаем о координате q этой частицы. Аналогичный вывод получается
и в том случае, когда | ф) == | q'), т. е. когда мы проводим измерение
над частицей, находящейся в состоянии с определенным значением координаты
q. В этом случае Aq = = 0 и в силу (1.188) Ар = оо.
Эти предельные случаи, когда кет-вектор | ф> является собственным кет-
вектором для операторов р и q, согласуются с вероятностной интерпретацией
теории, рассмот-
Ар Aq
1.13] ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА 85
ренной в предыдущем разделе. Если известно, что при измерении импульса
частицы р мы всегда получаем точное его значение, равное р', то
вероятность того, что при таком измерении мы получим значения величины у,
находящиеся в интервале от q до q + dq', будет равна
P*dq' = \<q'\p'>\ *dq' = -$r, (1.189)
где для вычисления величины <<?' | р'} была использована функция (1.148).
Эта величина не зависит от q , и поэтому частица может с одинаковой
вероятностью находиться в любой точке от -оо до +оо. Иными словами, в
согласии с принципом неопределенности, если Ар = 0, то Aq = = оо.
Точно так же, когда известно, что измерение координаты q дает точное ее
значение q , то вероятность того, что при таком измерении значение
импульса р окажется в интервале от р до р + dp', в силу (1.148) равна
Pp,dp' = \W\p'>?dp' = (1.190)
Снова, если мы знаем координату частицы, то мы ничего не можем сказать о
величине импульса частицы. Точное измерение координаты частицы q вызывает
такое глубокое возмущение системы, что уже ничего не может быть известно
об импульсе частицы.
В итоге мы можем сказать, что если система находится в состоянии | ф> и
